Judul: UKURAN DISPERSI
Penulis: Genti Emel
UKURAN DISPERSI
PENGERTIAN DISPERSI
Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.Ukuran dispersi pada dasarnya adalah pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan tepat.
JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI
Jangkauan (Range, R)
Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
Jangkauan data tunggal
Bila ada sekumpulan data tunggal X1, X2 . . ., Xn maka jangkauannya adalah
Jangkauan= Xn- 1Contoh soal:
Tentukan jangkauan data: 1, 4, 7, 8, 9, 11!
Penyelesaian:
X6 = 11 dan X1 = 1
Jangkauan = X6 – X1 = 11 - 1 = 10
Jangkauan data berkelompok
Untuk data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara. yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.
Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
Contoh soal:
Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut
Tabel 4.1
Penyelesaian:
Dari Tabel 4.1 terlihat:
Titik tengah kelas terendah = 142
Titik tengah kelas tertinggi = 172
Tepi bawah kelas terendah = 139,5
Tepi atas kelas tertinggi = 174,5
Jangkauan = 172 - 142 = 30
Jangkauan = 174,5 - 139,5 = 35
Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
JK=Q3- Q1Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
Qd= 12Q3- Q1Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.
Contoh Soal:
Tentukan jangkauan antar kuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut :
2,4,6,8,10, 12,14
Penyelesaian :
Q1= 4 dan Q3 = 12
JK= Q3 – Q1
= 12 – 4 = 8
Qd= ½ (12 – 4) = 4
Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut :
Tabel 4.2 Nilai Statistik 80 Mahasiswa
Nilai Frekuensi (f)
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99 2
3
5
14
24
20
12
Jumlah 80
Penyelesaian: Q1 = B1+ n4- f1ofQ1 ×C = 59,5+ 20- 1014 ×10 = 59,5+7,14=66,64 Q3 = B3+ 3n4- f3ofQ3 ×C = 79,5+ 60- 4820 ×10 = 79,5+6=85,5 JK = 85,5-66,64=85,5 Qd= 12 85,5-66,64=9,43Jangkauan antar kuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang berada diluar pagar dalam dan pagar luar. Data pencilan ini dapat terjadi karena ada kesalahan dari pencatatan atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang.
L =1,5 ×JKPD = Q1- LPL = Q3+ LKeterangan :
L= satu langkah
PD= pagar dalam
PL= pagar luar
Contoh soal:
Selidiki apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini
15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97
Penyelesaian :
Q1 =50 dan Q3 =68JK =68-50L = 1,5 ×18 =27PD=50-27=23 PL =68+27=95Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus yang menyimpang.
Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya.
Deviasi rata-rata data tunggal
Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
DR= 1n X- X= X- XnContoh soal :Tentukan deviasi rata-rata dari 2, 3, 6, 8, 11
Penyelesaian :
Rata-rata hitung= X = 2+3+6+8+115=6 Xi- X= 2-6 + 3-6+ 6-6+ 8-6+ 11-6=14 DR= Xi- Xn= 145=2,8Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:
DR= 1n f X- X= f X- XnContoh Soal:
Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada tabel berikut :
Tabel 4.3 Temperatur selama sebulan adalah :
Interval Temperatur oF Frekuensi (hari) X X- Xf X- X-50 sampai -45,1
-45 sampai -40,1
-40 sampai -35,1
-35 sampai -30,1
-30 sampai -25,1 4
10
15
11
10 -47,55
-42,55
-37,55
-32,55
-27,55
11,3
6,3
1,3
3,7
8,7
45,2
63
19,5
40,7
87
50 255,4
DR= f X- Xn = 255,450=5,108
Varians
Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s2. Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbolkan dengan 2 (baca: sigma).
Varians data tunggal
Untuk sampel besar (n > 30)
s2= X- X2nUntuk sampel kecil (n ≤ 30)
s2= X- X2n-1Contoh soal:
Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
n = 5
X = 2+3+6+8+115 =6X X- XX- X2X2
2
3
6
8
11 -4
-3
0
2
5 16
9
0
4
25 4
9
36
64
121
30 54 234
s2= X- X2n-1 = 545-1 =13,5Varians data berkelompok
Untuk sampel besar (n > 30)
s2= fX- X2nUntuk sampel kecil (n ≤ 30)
s2= fX- X2n-1Contoh soal:
Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut:
Tabel 4.4 Pengukuran Diameter Pipa
Diameter Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 2
5
13
14
4
2
Jumlah 40
Penyelesaian:
X=73,425Diameter f X X- XX-X2fX-X265 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 2
5
13
14
4
2 66
69
72
75
78
81 -7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575 55,131
19,581
2,031
2,481
20,931
57,381 110,262
97,905
26,403
34,734
83,724
114,762
Jumlah 40 - - - 467,790
s2= fX- X2ns2= 467,79040=11,694Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, simpangan bakunya (simpangan baku sampel) disimbolkan dengan s. Untuk populasi, simpangan bakunya (simpangan baku populasi) disimbolkan (dibaca sigma). Variansnya tentulah s2 untuk sampel dan σ2 untuk varians populasi. Jelasnya s dan s2 merupakan statistik sedangkan dan σ2 merupakan parameter. Untuk nentukan nilai simpangan baku, caranya:
s= variansSimpangan baku data tunggal
Untuk seperangkat data X1, X2, X3, .......Xn (data tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan:
Untuk sampel besar (n > 30):
s= X-X2nUntuk sampel kecil (n ≤ 30)
s= X-X2n-1Contoh soal:
Diberikan sampel dengan data: 8, 7, 10, 11, 4
Tentukan simpangan bakunya.
Xi Xi- XXi- X28
7
10
11
4 0
-1
2
3
-4 0
1
4
9
16
xi - x = 0 xi - x2= 30
Rata – rata X = 8
s = 304= 7,5=2,74Simpangan baku data berkelompok
Untuk sampel besar (n > 30)
s= fX-X2nUntuk sampel kecil (n ≤30)
s= fX-X2n-1Contoh soal;
Tentukan simpangan baku
Tabel 4.5 Nilai ujian statistik 100 orang mahasiswa
Niali ujian Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74 8
12
19
31
20
6
4
Jumlah 100
Penyelesaian:
Nilai f X fX X- XX- X2fX- X240 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74 8
12
19
31
20
6
4 42
47
52
57
62
67
72 336
564
988
1767
1240
402
288 -13,85
-8,85
-3,85
1,15
6,15
11,15
16,15 191,8225
78,3225
14,8225
1,3225
37,8225
124,3225
260,8225 1534,58
939,87
281,63
40,99
756,45
745,94
1043,29
Jumlah 100 5585 5342,75
X= fXf=5585100=55,85s= fX-X2n= 5342,75100=7,31KOEFISIEN VARIASI
Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif dirumuskan:
Dispersi relatif= Dispersi absolutRata-rataKoefisien Variasi (KV)
Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV) Koefisien variasi dirumuskan:
KV= sX ×100%Keterangan:
KV = Koefisien variasi
s= simpangan baku
X= rata-rata
Contoh soal:
Dari hasil sampling terhadap kandungan Ag dengan menggunakan channel sampling dan bulk sampling diperoleh data sebagai berikut :
Bulk sampling :
S= 57,99 g/tX = 78,274
Channel sampling :S= 69,99 g/tX = 88,584
Tentukan koefisien variasi masing-masingMetode sampling yang mana sebaiknya dilalakukanPenyelesaian:
Bulk sampling
KV= SX ×100%=57,9978,274 ×100%= 74,085 %Channel sampling
KV= SX ×100%=69,9988,584 ×100%= 79,01 %Jadi variasi kadar Ag dengan menggunakan Channel sampling lebih besar daripada variasi kadar Ag dengan menggunakan Bulk Sampling
Sebaiknya menggunakan channel sampling untuk pengambilan sampel.
D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi.Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Gambar 4.1 Kemencengan distribusi (a) Menceng ke kekiri (b) Menceng ke kanan
Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan menggunakan metode koefisien kemencengan Person
Koefisien Kemencengan Pearson
Koefisien kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemencengan Pearson dirumuskan:
sk= X - MosKeterangan:
sk = koefisien kemencengan Person
Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:
sk = 0 —> kurva memiliki bentuk simetris;
sk > 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak disebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
sk < 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di
sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh soal:
Berikut ini adalah frekuensi debit air sungai
Tabel 4.6 frekuensi debit sungai
Interval Kelas(m3/s) Frekuensi(f)
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 4
3
5
8
11
7
2
Jumlah40
Tentukan nilai sk dan ujilah
arah kemencengan
Gambarkan kurvanya
Penyelesaian:
Interval Kelas(m3/s) Titik Tengah (X) Frekuensi(f) fXX-XX-X2fX-X231 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 35,5 4 142 -32 1024 4096
45,5 3 136,5 -22 484 1452
55,5 5 277,5 -12 144 720
65,5 8 524 -2 4 32
75,5 11 830,5 8 64 704
85,5 7 598,5 18 324 2268
95,5 2 191 28 784 1568
4
3
5
8
11
7
2
142
136,5
277,5
524
830,5
598,5
191
-32
-22
-12
-2
8
18
28
1024
484
144
4
64
324
784
4096
1452
720
32
704
2268
1568
Jumlah40 2700 10840
X = fXf= 270040=67,5s = fX-X2n-1 =1084039=16,672 Me=B+ 12n- f2ofMe C=60,5+ 1240-128 ×10=60,5+10=70,5Mo=L+d1d1+d2 C=70,5+44+5 ×10=70,5+4,44=74,94 a. sk= X - Mos=67,5-74,9416,672=-0,446Dari hasil perhitungan diperoleh nilai sk -0,446, yaitu negative maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
Gambar kurva:
Gambar 4.2 Kurva menceng ke kiri untuk debit air sungai
KERUNCINGAN (KURTOSIS)
Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut.
Leptokurtik
Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
Platikurtik
Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.
Mesokurtik
Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
Bila distribusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.
Gambar 4.3 Keruncingan Kurva
Ukuran yang sering digunakan untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi adalah koefisien keruncingan
Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan 4. (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:
nilai lebih kecil dari 3 (<3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik:
nilai lebih besar dari 3 (>3) maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik.
nilai yang sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.
Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
Untuk data tunggalα4=1nX- X4s4Contoh soal
Tentukan keruncingan kurva dari data kadar Au hasil pemboran
Lubang Bor Kadar Au g/t
1 5,2
2 1,5
3 35,9
4 9,8
5 17,7
Penyelesaian:
X X-XX-X2X-X45,2
1,5
35,9
9,8
17,7
-8,82
1,5
35,9
9,8
17,7
77,7924
2,25
1288,81
96,04
313,29
6051,657
5,0625
1661031
9223,682
98150,62
70,1 14,02 1778,1824
1774462
x= xn = 70,15=14,02s= X-X2n-1=1778,1824=21,084α4=1nX- X4s4= 15×177446221,0844= 354892,4197611,4=1,796Karena nilainya lebih kecil dari pada 3 yaitu 1,796 maka distribusi platikurtik.Untuk data berkelompokα4= 1nX-X4 fs4Contoh soal:
Berikut ini adalah distribusi frekuensi dari pengukuran diameter pipaDiameter Pipa (mm) Frekuensi (f)
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 - 82 2
5
13
14
4
2
Jumlah40
Tentukan nilai koefisien keruncingannya
Gambar grafiknyaPenyelesaian:
Dari perhitungan diperoleh s = 3,42Diameter f X X- XX-X4fX-X465 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 2
5
13
14
4
2 66
69
72
75
78
81 -7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575 3039,386
383,4009
4,123438
6,1535
438,0911
3292,536
6078,772
1917,004
53,60469
86,14901
1752,364
6585,072
Jumlah 40 - - - 16472,97
a. α4= 1nX-X4 fs4= 140×16.472,973,424=411,824136,806=3,01Karena nilai keruncingannya adalah 3,01 maka bentuk kurva tersebut adalah mesokurtikGrafik:
Gambar 4.4 Keruncingan kurva bagi diameter pipaSOAL-SOAL LATIHAN
Jelaskan apa yang dimaksud dengan ukuran :
KemiringanKurtosis
Berikan contoh fenomena yang dapat memberikan model kurva:
NegatifPositifJelaskan bagaimana sifat data akan berkumpul jika lengkungannya:
LeptokurtikPlatikutikDiketahui data curah hujan rata-rata setiap bulan selama tahun 2012 adalah sebagai berikut :
BulanJan Feb Mar Apr Mei JuniJuliAgusSept OktNov Des
mm/ bulan554,X 261,X 176,X 297,X 264,X 122,X 232,X 122,X 84,X 73,X 285,X 380,X
Deviasi rata-rata
Hitung varians dan simpangan bakunyaDiketahui kadar Ni (%) dari enam buah drill hole adalah :
Drill hole 1 2 3 4 5 6
Kadar Ni (%) 0,9 1,2 1,5 1,9 2,4 2,6
Tentukan simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data diatas apakah ada data pencilan dari kadar Ni diatas
Terimakasih telah membaca UKURAN DISPERSI. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: