Judul: Makalah Turunan Parsial, Keterdiferensialan dan Turunan Total
Penulis: Salim Kurni
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kalkulus lanjut merupakan mata kuliah lanjutan dari kalkulus I yang telah dipelajapada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup, sehingga mahasiswa sangat dituntut untuk memiliki keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun dituntut aktif mencari bahan materi yang dipelajari.
Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan diskusi diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa kebih menjadi maksimal. insyaAllah.
Rumusan Masalah
Apa itu Turunan Persial?
Apakah kegunaan dan lambang dari Turunan Persial?
Apa itu keterdeferensialan?
Apa itu turunan total?
Tujuan
1. Menjelaskan pengertian, kegunaan dan lambang turunan persial;
2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;
3. Menjelaskan penyelesaian diferensial total.
4. Menjelaskan penyelesain turunan total.
Manfaat
1. Mahasiswa dapat apa itu turunan persial serta memahami penyelesaian turunan dengan aturan rantai baik itu dua variabel maupun banyak variabel;
2. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih;
3. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian diferensian total dua variabel atau lebih.
4. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan total
5. Dapat menambah wawasan tentang pembelajaran turunanan persial, kegunaannya serta lambangnya.
6. Sebagai sumber pembelajaran bagi seluruh kalangan yang membutuhkan makalah ini.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi, kegunaan, dan lambang turunan Persial
Definisi Turunan Persial
Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.
Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
Contoh:
2400300138430fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2
00fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2
Tentukan fx dan fy
1476375100965fy(x,y) = x3 + 8 xy
Jawab:
Fungsi dua peubah atau lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:
z = 2x + y
z = ln
z = 1 – 2
xy + xz – yz = 0
xy - e= 0
ln = 0
arc tan - 2z = 0
Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:
2514600374650025146001462405005715001462405001714500279400001714500146240500251460027940000
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh
=
dan
=
Asalkan limitnya ada.
Contoh :
Tentukan turunan parsial pertama dari
a. z =
Jawab
=
=
= .
=
=
=
=
=
=
=
= .
=
=
=
=
=
b. z = Sin (x+y)
Jawab
=
=
=
= 2
= cos (x+y+)
= cos (x+y+)
= 2 cos (x+y)(1)(1/2)
= cos (x+y)
=
=
=
= 2
= cos (x+y+)
= cos (x+)
= 2 cos (x+y)(1)(1/2)
= cos (x+y)
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:
Asalkan limitnya ada.
Contoh:
Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan
Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini:
Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.
Jadi andaikan z = F(x,y) maka:
Turunan parsial tingkat dua adalah
Demikian pula, jika W = F(x,y,z)
Turunan parsial tingkat dua adalah
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n
Contoh
Tentukan dan dari fungsi berikut:
z =
Jawab
Dari z = , diperoleh
=
=
Sehingga
=
=
=
Dan =
= =
z =
z = sin 3x cos 4y
Kegunaan Turunan Persial
Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial.
Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai
Lambang turunan parsial
Lambang bilangan persial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf รฐ)
B. Differensial Total dan Turunan Total
Diferensial total dua variabel
Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut:
Contoh:
1). Misalkan z = x2y2 + x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya. Jawab
= (2xy2 + 3x2 + y3 ) dx + (2x2y +3y2x)dy
2). Tentukan diferensial total untuk z= e- ½ (x + Y) Jawab:
= ( - ½ e – ½ (x + y ))dx + (-1/2 e-1/2( x + y ))dy
2. Diferensia total tiga variabel
Misalkan fungsi w = f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka diferensia total dari f dinyatakan dalam bentuk
Contoh:
1). Carilah diferensial total dari w= 2x2 y + y2 x z +xz2 Jawab:
= (4xy +y2z +z2)dx + (2x2 + 2yxz) dy + (y2x + 2 xz) dz
2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm , lebar 15 cm dengan kesalahan pengukuran 0,02 cm dan tinggi 10 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai pendekatan kesalahan pengukuran terbesar dari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya dalam persentase!
Jawab:
Misalkan panjang balok = x, lebar = y, dan tinggi = z, maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya adalah ∆๐ ๐๐ก๐๐ข ๐๐ sebagai nilai pendekatan untuk ∆๐. Jadi
Diketahui ∆๐ฅ =0,01 ,∆๐ฆ=0,02 ๐๐๐ ∆๐ง=0,01 jadi kesalahan pengukuran pada panjang balok dx = 0,01 lebar dy= 0,02 dan tinggi =0,01. Jadi
Jadi ∆๐ ≅8,5 ๐๐3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjadi pada pengukuran volume balok adalah 8,5 cm3. Kemudian diketahui:
Jadi kesalahan relative dari pengukuran volume balok adalah
3. Diferensial total n variable Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka
Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan
------------- (1) dan
------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dan
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = +
Bentuk di atas disebut diferensial total.
Contoh.
Jika r = dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang
Differensial total
dr =
dimana dr , dx , dx
didapat
=
=
=
= cm
Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab.
Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka
I =
I = I(r,h)
Diketahui r = 15 cm, h = 20, ,
Dengan definisi turunan total
I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
= 2
Turunan Parsial Fungsi Implisit
Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah
Fungsi implisit dua peubah secara umum dinyatakan dengan F(x,y) = 0.
Contoh
xy + yz + xz = 0
exy – sin
x2 + y2 + z2 – 25 = 0
Untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial total.
Karena f(x,y) = 0, maka df(x,y) = d(0)
Atau
= 0
Carilah dari
b. f(x,y) = xy-ex sin y = 0 (fungsi implisit 2 peubah x dan y)
akan dicari , menurut definisi turunan total
=
=
ln(x- arc tan = 0 (fungsi implisit 2 peubah x dan y)
=
=
=
Turunan Fungsi Implisit 3 Peubah
Fungsi Implisit 3 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0
Contoh:
Contoh
xy + yz + xz = 0
exyz – zsin
x2 + y2 + z2 – 25 = 0
Fungsi Implisit 4 Peubah
BU dinyatakan dengan
Atau ditulis dalam bentuk
F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0
dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
1.
Atau ditulis dengan x+y+ 2uv = 0, x
2.
3. dan seterusnya.
Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.
Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan .
Sehingga turunan parsialnya adalah dan seterusnya.
Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.
Contoh:
Tentukan dari
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat
1----- 1
atau
2x---- 2
2x-0-y+0+2u atau 2u
Setelah di eliminasi didapat
=
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat
diturunkan terhadap (yang tidak boleh
1atau
1 -----(1)
2x atau
-------(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh
1 ................................... . (2y-x)
…………. (2y)
Didapat
(2y-x) 1
--------------------------------------------------------------- -
[(2y-x)-(2x-y)(2y)]= -2v(2y-x)+2u(2y)
Diperoleh
=
Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan
, dan
Mencari
Persamaan 1)
….(1)
Persamaan 2)
.... (2)
31559504699000 dikali
dikali
Maka,
4711709080500
2690495895350026904952286000
Mencari
Persamaan 1)
….(1)
Persamaan 2)
…(2)
31572206858000 dikali
dikali
Maka,
4711709080500
24618958890000246189513652500
Jadi, , dan
Turunan Fungsi Implisit 6 peubah.
Bentuk Umumnya
u,v,dan w variable sejenis
x,y, dan z variable sejenis
Contoh:
Atau
Akan dicari
Dari persamaan di atas, diperoleh
1 -
0 – 2x
Soal-soal.
Carilah dari fungsi
F(x,y,u,v) = … = 0 dan F(x,y,u,v) = … = 0
BAB III
LATIHAN SOAL
Turunan Persial
Carilah turunan persial pertamanya
z = ln
z = 36 – x2 – y2
z = 3 -
z = xy2 – 2x2 + 3y3
z = arc tan
F(x,y,z) = xy – yz + xz
F(x,y,z) =
F(x,y,z) = sin (xy) – 2e
F(x,y,z) = arc sin
Tentukan fx dan fy
1.
2.
3.
Tentukan fx, fy dan fz
Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan
Carilah turunan parsial pertamanya.
Dengan metode sederhana didapat
a. +
= yz -
b. +
= xz -
c.
Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y
2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3
3. f(x,y) = tan-1(y2/x)
4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)
Terimakasih telah membaca Makalah Turunan Parsial, Keterdiferensialan dan Turunan Total. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: