Judul: Resume 9-10 (Bilangan Kompleks dan Rangkaian RLC)
Penulis: Imas Gustini
Tujuan:
Mahasiswa dapat memahami rangkaian resistansi, kapasitansi, serta induktansi murni.
Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal menyangkut materi resistansi, kapasitansi, serta induktansi murni.
Mahasiswa dapat memahami penggunaan bilangan kompleks
Mahasiswa dapat mengerti rangkaian RL,RC serta RLC dalam rangkaian seri, paralel dan gabungan
Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian RLC
Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang menyangkut materi rangkaian RL,RC serta RLC dalam rangkaian seri, paralel dan gabungan
BAB I
PENDAHULUAN
Pada rangkaian RLC, hukum Ohm tetap memenuhi untuk digunakan dalam perhitungan. Akan tetapi operasi aritmatiknya tetap mengikuti kaidah dalam perhitungan vektor kompleks. Rangkaian RLC tidak hanyak banyak dijumpai di dalam berbagai aplikasi praktis, namun juga sering di gunakan sebagai model untuk sistem – sistem lain di luar bidang kelistrikan. Sebagai contohnya, sebuah rangkaian RLC di dapat untuk memodelkan sistem suspensi sebuah mobil, atau karakteristik kerja sebuah piranti pengontrol suhu dalam menumbuhkan kristal – kristal semikonduktor, dan bahkan sistem kendali evalator (kemudi ekor) ddan aileron (kemudi sayap) di sebuah pesawat terbang.
Bilangan Kompleks merupakan suatu bilangan yang memiliki komponen nyata dan komponen imaginer. Bilangan kompleks Z = X + jY dimana X dan Y adalah bilangan real.
Dalam bilangan kompleks X + jY, maka suku pertama yaitu X dinamakan bagian real dan suku kedua jY dinamakan imajiner.
Bila X=0; maka bilangan kompleks adalah imajiner murni dan terletak pada sumbu j, bila Y=0 maka bilangan kompleks adalah bilangan real dan terletak pada sumbu real.
BAB II
PEMBAHASAN
Reaktansi, Induktansi dan Kapasitansi
Reaktansi resistor (R)
Apabila kita menggambarkan arus dan tegangan pada rangkaian AC yang sangat sederhana yang terdiri dari sebuah sumber dan sebuah resistor (gambar 1), hasilnya akan seperti ini (gambar 2)
22479007620381007620
Ternyata IR dan ET sefase
Gambar 1. Rangkaian AC resistif murni
IR= I Sin (t)
ET = IR . R
= I Sin(t) . R
= I.R Sin(t)
= E Sin(t)
Jika Sin (t) = 1, maka '
ET = I. R
Resistor pada rangkaian arus bolak-balik (AC) sederhana secara langsung menahan aliran elektron pada setiap periode waktu, sehingga bentuk gelombang tegangan yang melewati resistor akan se-phasa dengan bentuk gelombang arusnya. Lebih sederhananya, tegangan dan arus yang melewati pada rangkaian AC memiliki phasa yang sama. Jika digambarkan dalam diagram phasor,maka arus (I) ke arah sumbu 'X' positif (kanan) dan tegangan juga ke arah sumbu 'X positif (kanan). Perhatikan gambar hasil plot dari tegangan dan arus yang melewati resistor pada rangkaian AC berikut ini.
Gambar 2. Tegangan dan arus berada dalam satu phasa pada rangkaian AC resistif murni
Kita dapat lihat pada gambar diatas, kedua gelombang tegangan dan arus se-phasa. Pada saat tegangan pada posisi positif, posisi titik "0" (Nol), maupun posisi negatif, arus juga berada pada posisi yang sama.
Reaktansi Induktor (XL)
3048001838325Induktansi adalah sifat dari rangkaian elektronika yang menyebabkan timbulnya potensial listrik secara proporsional terhadap arus yang mengalir pada rangkaian tersebut, sifat ini disebut sebagai induktansi sendiri. Sedang apabila potensial listrik dalam suatu rangkaian ditimbulkan oleh perubahan arus dari rangkaian lain disebut sebagai induktansi bersama. Untuk menunjukkan apa yang terjadi pada arus bolak-balik dalam rangkaian yang berisi induktor, perhatikan rangkaian berikut ini (gambar 3)
KET:
Tegangan EL mendahului arus IL sebesar 900
Gambar 3. Rangkaian Induktif Murni
Apabila kita menggambar arus dan tegangan untuk rangkaian sangat sederhana ini, hasilnya tampak pada gambar 4.
Gambar 4. Bentuk gelombang tegangan dan arus pada rangkaian induktif murni
Perlu diingat, tegangan drop pada induktor adalah reaksi untuk melawan perubahan nilai arus yang mengalirinya.Oleh karena itu, tegangan sesaat akan bernilai nol pada saat nilai arusnya mencapai puncak (perubahannya nol, kemiringan/gradiennya nol). Dan nilai tegangan sesaat akan maksimum saat laju perubahan arusnya maksimum (titik dimana kemiringannya sangat tajam, yaitu saat arusnya melalui nilai nol). Fenomena ini menghasilkan kenyataan bahwa gelombang tegangan pada induktor akan mempunyai beda fase sebesar 90o dengan gelombang arus yang mengaliri induktor.
Simbol reaktansi induktor adalah 'XL', pada rangkaian AC sederhana, reaktansi induktif dapat dihitung menggnakan persamaan berikut.
XL = 2 f L
Keterangan:
XL = reactance dalam ohms ( Ω )
f = frequency dalam hertz (Hz)
L = inductance dalam henrys (H)
Maka pula dihasilkan,
Rangkaian dalam Induktor
Sebuah induktor biasanya dikonstruksi sebagai sebuah lilitan dari bahan penghantar, biasanya kawat tembaga, digulung pada inti magnet berupa udara atau bahan feromagnetik. Bahan inti yang mempunyai permeabilitas magnet yang lebih tinggi dari udara meningkatkan medan magnet dan menjaganya tetap dekat pada induktor, sehingga meningkatkan induktansi induktor. Induktor frekuensi rendah dibuat dengan menggunakan baja laminasi untuk menekan arus eddy. Ferit lunak biasanya digunakan sebagai inti pada induktor frekuensi tingi, dikarenakan ferit tidak menyebabkan kerugian daya pada frekuensi tinggi seperti pada inti besi.
Contoh: Kawat yang dililitkan pada inti besi/seterika
Reaktansi Kapasitor (XC)
Pada bagian sebelumnya kita telah menganalisa rangkaian yang berisi sumber AC dan sebuah kapasitor saja. Sekarang kita akan menganalisa rangkaian yang terdiri dari sumber AC yang dirangkai seri dengan resistor dan kapasitor (gambar 5).
Gambar 5. Rangkaian seri kapasitor – resistor :
Arus mendahului tegangan sebesar 0 hingga 90 derajat
Gambar 6. Tegangan dan arus berada dalam satu fasa pada rangkaian AC resistif murni
Karena resistor membuat nilai arus proporsional langsung dengan nilai tegangan pada resistor itu setiap saat, gelombang nilai arus tepat berada satu fase dengan gelombang nilai tegangan. Kita dapat lihat pada setiap titik-titik waktu sepanjang garis sumbu horisontal dengan membandingkan nilai tegangan dengan arus (nilai pada titik waktu tertentu disebut dengan nilai sesaat). Ketika nilai sesaat dari tegangan sama dengan nol, maka nilai arus pada saat itu juga sama dengan nol. Begitu pula pada saat tegangan pada resistor berada pada puncak positif, nilai arusnya juga ada di puncak positif. Pada semua titik waktu, hukum Ohm berlaku untuk nilai tegangan dan arus sesaat.
Adapun rumus yang dimiliki, sebagai berikut:
Perlu diingat:
Dan jika,
di mana
Xc = reactance dalam ohms (Ω)
f = frequency dalam hertz (Hz)
C = capacitance dalam farads (F)
Contoh Soal!
Tentukan arus yang mengalir dalam rangkain tersebut!
Penyelesaian:
Bilangan Kompleks
Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
Dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
Bilanganan komplek digunakan untuk melukiskan besaran vektor, seperti:
Notasi Simbol
Bentuk trigonometri
Bentuk eksponen
Bentuk polar
Notasi Simbol
Vektor dapat dispesifikasikan dalam bidang datar (X dan Y)
Komponen X atau sumbu nyata
Komponen Y atau sumbu khayal
gambarkan Vektor
V = a + bj , Jika a = 2, b = 3
Ket:
Pengertian Operator:
Huruf j merupakan simbol operasi
Simbol j menunjukan putaran inti jarum jam dari vektor melalui sudut 900
j = √(-1) = 900
J2 =(√-1)2 = 1800
J3 =(√-1)3 = 2700
J4 =(√-1)4 = 3600
Bentuk Trigonometrii
Bentuk Eksponensial
Bentuk Polar
V[cos jsin ] = V
Ket:
V = menyatakan besaran vektor
= sudut inklinasi terhadap sumbu x
Adapun perhitungan dalam vektor, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pembagian. Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner ,adapun contoh sebagai berikut:
355282528575Contoh Penjumlahan Vektor
A = 2 + j4
B = 3 + j3
jawab:
A + B = (2 +j4) + (3 + j3) = 5 + j7
│A + B │=52+72= 8,60
sehingga,
C = 8,6054,46 Polar
3190875165100
Contoh Pengurangan Vektor
A = 2 + j4
B = 3 + j
jawab:
C = A - B = (2 +j4) - (3 + j) = -1+ j3
C =│A - B │=√(-12 +32) = 3,162
Sehingga,
C = 3,162-71,570 Polar
Contoh Perkalian Vektor
A = 2 + j4
B = 3 + j
Jawab:
C = A x B = (2 +j4) x (3 + j)
= 6 +j2 +j12+j24
= 6 +j14 +(-1)4
= 2 + j14
C =│A x B │=√(4 +196) = 14,14
C = 14,14 81,87O → POLAR
Cara lain perkalian:
A = 2 + j4 = 4,4763,430
B = 3 + j = 3,16 18,430
Jawab
C = A x B = 4,4763,430 x 3,16 18,430
=14,13 (63,430 + 18,430)
C =14,13 81,860
Contoh Pembagian VektorA = 2 + j4
B = 3 + j
Jawab :
C =│A x B │=√(1 +1) = 1,414
C = 1,414 450
Cara lain Pembagian:
A = 2 + j4 = 4,4763,430
B = 3 + j = 3,16 18,430
Jawab :
C = 1,41 (63,43-18,43)0 = 1,41 450
Rangkaian RL, RC , RLC Pada Rangkaian Seri ,Paralel dan Gabungan
R-L Seri
Dalam rangkaian seri, besarnya arus pada tiap – tiap beban sama. Akan tetapi, tegangan tiap – tiap beban tidak sama, baik besar maupun arahnya. Pada beban R, arus dan tegangan sebesar 900.
170815265430Contoh:
Z = R + j XLBil. kompleksBB
= 3 + j4
|Z| = R2+jXL2|Z| = 32+42 = 5 Ω
θ= arc tg XL R
= arc tg 43 = 53,13°
Sehingga,
Z= 5 53,13°Untuk mencari arus , maka:
I = VZ
I = 10 15°5 53,13° = 2 15 - 53,13° = 2 - 38,13° A
I = 2 (cos (-38,13°) + j sin (-38,13°))
VL = I . XL
VL = 2 - 38,13° x 4 90° = 8 - 38,13° + 90° = 8 51,87°IR = I . R
IR = 2 - 38,13° x 3 0° = 6 - 38,13°Rangkaian R-C Seri
Pada bagian sebelumnya kita telah menganalisa rangkaian yang berisi sumber AC dan sebuah kapasitor saja. Sekarang kita akan menganalisa rangkaian yang terdiri dari sumber AC yang dirangkai seri dengan resistor dan kapasitor (gambar 1)
Gambar 1. Rangkaian seri resistor - kapasitor: Diagram phasor rangakaian RC
Untuk referensi sudut fase untuk sumber tegangannya, yang pada umumnya diasumsikan bernilai nol. (Sudut fase dari bagian resistif adalah 0o dan reaktansi kapasitifnya -90o ).
Contoh soal:
400050205105
Z = R - jXC
= 3 - j5
|Z| = 32+-52 = 5,83 Ω
θ = arc tg - XCR
= arc tg -53 = -59,03°
Rangkaian R-L-C Seri
196215020320
Untuk menghitung hubungan seri antara R, XL,dan XC pada setiap diagram fasor kita ambil segitiga tegangan. Dri sini dapat dibangun segitiga resistor yang terdiri dari resistor (R), reaktif (X) dan impendasi (Z).
Berdasarkan tegangan reaktif kapasitif (VC), maka resisitor reaktif (X = XLS=XCS) merupakan selisih dari reaktansi (XL) dan (XC). Maka untuk resistansi semu (impendasi Z) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
Z = R + jXL + j XCBil. Kompleks
|Z| = R2+(XL2-XC2)
57150-85725Ket:
- XL > XC Bersifat induktif
- XC > XLBersifat kapasitif
- XC = XLBersifat resisitif
Contoh Soal:
Penyelesaian:
Z1 = 2 + j3
Z2 = 1 - j4
Z3 = 6 + j4 - j8 = 6 - j
Zp = Z1 + Z2 +Z3
= 2 + j3 + 1 - j4 + 6 - j
= 9 - j2
|Z| = 92+-22 = 81+ 4 = 85 = 9,21
θ= arc tg - 29 = - 12,52º
* Gambar pengganti
Zp = 9 - j2
Rangkaian R-L Paralel
Gambar Rangkaian parallel R – L beserta grafik fasornya.
Dalam rangkaian parallel tegangan tiap komponen atau cabang adalah sama besar dengan tegangan sumber. Akan tetapi, arus tiap komponen berbeda besar dan fasenya.
Arus tiap komponen ialah :
Arus pada resistor :
arus sefase dengan tegangan
Arus pada induktor :
arus tertinggal dari tegangan sebesar 900
IT = IR + IL|IT| = IR2+IL2θ = arc tg - IL IR
Rangkaian R-C Paralel
Rangkaian R-C paralel, sifat dari rangkaian paralel adalah terjadi percabangan dari sumber arus (i) menjadi dua, yaitu arus yang menuju kapasitor (iC) dan arus yang menuju resistor (iR).
Gambar Rangkaian parallel R – C beserta grafik fasornya.
Dalam diagram fasor, fasor arus efektif (iR) berada sefasa dengan tegangan (v) sedabgkan fasor dar arus reaktansi kapasitif (iC) mendahului sejauh 90o. Arus gabungan (i) merupakan jumlah geometris dari arus efektif (iR) dan arus reaktansi kapasitif (iC), atau diagonal dalam persegi pajang (iR) dan (iC). sudut tegangan (v) dan arus (i) adalah sudut fasa φ.
Contoh Soal:
Penyelesaian:
IR = VR = 10 0°5 = 2 0
Ic = VXC = 10 0°2 90° = 5 - 90º
IP = 22+52
= 29
= 5,38 A
θ = arc tg 52
= 68,19°Rangkaian R-L-C Paralel
V Gambar Rangkaian parallel R - L– C beserta grafik fasornya.
IT = IR2+I2θ = arc tg IIR
Suatu rangkaian arus bolak-balik yang terdiri dari resistor (R), reaktansi induktif (XL) dan reaktansi kapasitif (XC), dimana ketiganya dihubungkan secara paralel. Arus yang melalui reaktasi induktif (IL) tertinggal sejauh 90o terhadap tegangan (V) dan arus yang melalui reaktansi kapasitif (IC) mendahuui sejauh 90o terhadap tegangan (V). Arus reaktif induktif dan arus reaktif kapasitif bekerja dengan arah berlawanan, dimana selisih dari kedua arus reaktif tersebut menentukan sifat induktif atau kapasitif suatu rangkaian. Adapun persamaan arus total yang megalir pada komponen tersebut.
Rangkaian R-L-C Gabungan
Contoh soal:
Penyelesaian:
Z1 = 2 + j3
|Z1| = 22+32 = 13 = 3,60 Ω
θ = arc tg 32 = 56,30°
Z1 = 3,60 56,30°Z2 = 1 + j4
|Z2| = 12+42 = 17 = 4,12 Ω
θ = arc tg 41 = 75,96°
Z2 = 4,12 75,96°Z3 = 2 - j5
|Z3| = 22+52 = 29 = 5,38 Ω
θ = arc tg - 52 = - 68,19°
Z3= 5,38 - 68,19°Mencari nilai Zp (Impendasi Paralel) dapat menggunakan 2 persamaan yaitu:
1Zp = 1Z2 + 1Z3 Cara 1
Zp = Z2 . Z3Z2 + Z3
Cara 2
Dengan menggunakan cara 2, maka:
Zp = Z2 . Z3Z2 + Z3
= 4,12 75,96° . 5,38 - 68,19° 1 + j4 + 2 - j5= 22,16 7,77° 3,16 -18,43°= 7,01 26,2°BAB III
SOAL DAN PENYELESAIAN
Perhatikan gambar rangkaian induktansi murni dibawah ini!
Hitunglah arus yang mengalir pada induktor!
penyelesaian:
XL = 2 μ f L = 2. 3,14. 60 . 160 x 10-3
= 60,288 Ω
I = EXLI = 12060,288I = 1,99 A
Kalikan nilai Z1 = 10 + j5 dengan Z2 = 8 + j9 !
penyelesaian:
Z1 . Z2 = (10 + j5) . (8 + j9)
= (10).(8) + (10).(j9) + (j5).(8) + (j5).(j9)
= 80 + j90 + j40 + j45
= 80 + j 175
Perhatikan rangkaian RLC seri dibawah ini!
Hitunglah impendasi total pada rangkaian diatas!
penyelesaian:
R = 250 ΩZR = 250 + j
XL = 2 μ f L = 2. 3,14. 60 . 650X10-3
= 244,92 ΩZL = 0 + j 244,92
XC = 12 μ f C = 12. 3,14. 60 . 1,5x 10-6 = 15,652 x 10-4 = 1769,28 Ω ZC = 0 - j 1769,28
Sehingga, impendasi total dapat dihitung dengan cara penjumlahan bilangan kompleks.
ZT = ZR + ZL + ZC
= 250 - j 1523,36
= 1543, 7 Ω - 80,86°Perhatikan gambar rangkaian dibawah ini!
Hitunglah impendasi total serta arus masing-masing resistor, kapasitor serta induktor!
penyelesaian:
V = 120 + J 0
ZR = 250 Ω + j ZR = 250 Ω 0°ZL = 0 + j 650ZL = 650 Ω 90°ZC = 0 - j 300ZC = 300 Ω -90°ZT =Zp = ZR . ZL . ZCZR + ZL + ZC
= 250 Ω 0° . 650 Ω 90° . 300 Ω -90° 250 Ω + j + 0 + j 650 + 0 - j 300 = 48750x10-3 0° 250 Ω +j 351= 48750x10-3Ω 0° 430,93 Ω 52,53° = 113,12 -52,53°304800170180maka kuat arus pada masing-masing R, L dan C adalah
pada sudut 0o
IR = 480 + j 0 mA
304800175895
pada sudut = - 90oatau
IL = 0 - j 489,71 mA
29527599695
pada sudut =90oatau
IC = 0 + j 67,858 mA
Sedangkan I total adalah
atau
IT = 639,03 mA -41,311°Perhatikan gambar rangkaian dibawah ini!
Hitunglah impendasi total pada rangkaian diatas!
penyelesaian:
Karena rangkaian sudah dalam bentuk domain frekuensi, kita bisa langsung menghitung impedansi totalnya
ZT = Z1 + (Z2 || Z3)
Z2 || Z3 = (1 + j2) x (-j2)1 + j2 -j2) = (2,236 63,43°) x (2 -90°)1 0° = 4,472 Ω -26,57° Z2 || Z3 = 4 - j2 Ω
ZT = Z1 + (Z2 || Z3)
= 1Ω + 4 - j2 Ω
= 5 - j2 Ω = 4,58 -21,80°DAFTAR PUSTAKA
http://elkaasik.com/impedansi-rlc-seri-paralel/
http://elektronika-dasar.web.id/teori-elektronika/rangkaian-r-l-c-seri/
http://web.ipb.ac.id/~tepfteta/elearning/media/Energi%20dan%20Listrik%20Pertanian/MATERI%20WEB%20ELP/Bab%20VIII%20RANGKAIAN%20RLC/pendahuluan.htm
http://elektronika-dasar.web.id/teori-elektronika/analisa-rangkaian-r-c-paralel/
Lowenberg, Edwin C.1976. Electronics Circuits. New York :Mc Graw Hill
Dosen rangkaian listrik I. Faried Wadji
Terimakasih telah membaca Resume 9-10 (Bilangan Kompleks dan Rangkaian RLC). Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: