Judul: PENERAPAN METODE ITERASI TITIK TETAP DALAM REKAYASA SIPIL
Penulis: N. Lestari
PENERAPAN METODE ITERASI TITIK TETAP
DALAM REKAYASA SIPIL
(Menghitung Koefisien Gesek untuk Aliran Turbulen dalam sebuah Pipa)
Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas Mata Kuliah 4 pada Trimester 4
Dosen: Dr. Edi Sukirman
Disusun oleh:
Nurhidayah Tiinia Lestari (16313677)
Siti Aisyah(18313519)
Theta Margaritifera(18312868)
Uni Handayani(19313057)
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
UNIVERSITAS GUNADARMA
2015
Pendahuluan
Matematika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang amat berguna dan sangat membantu dalam penyelesaian persoalan-persoalan yang ada di sekitar kita. Hal tersebut merupakan alasan mengapa mata pelajaran ini bahkan mulai dipelajari saat pertama memasuki sekolah dasar. Penerapan ilmu Matematika dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai dan tanpa disadari, contoh kecil seperti jual-beli. Pengertian Matematika menurut kamus besar Bahasa Indonesia adalah ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antar bilangan dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah bilangan. Ada pula yang mengartikan Matematika sebagai suatu ilmu yang mempelajari bilangan dan bangun serta konsep-konsep yang berkenaan dengan kebenarannya secara logika menggunakan simbol-simbol yang umum. Matematika terdiri dari banyak disiplin ilmu, seperti Geometri, Analisis, Aljabar, Logika, Kalkulus, dan lain-lain. Berdasarkan fakta, Matematika juga berfungsi diberbagai bidang pendidikan. Sebagai contoh, mahasiswa Psikologi diwajibkan untuk mengambil mata kuliah Statistika Dasar, Aljabar Linear untuk mahasiswa Teknik Informatika, dan Kalkulus yang diperlukan untuk para calon teknisi Sipil. Karenanya, Matematika dijadikan aplikasi dalam ilmu-ilmu lain. Pada umumnya jika seseorang menyukai ilmu Matematika, akan mudah baginya dalam ilmu-ilmu dasar lain seperti Fisika atau Kimia yang juga memanfaatkan daya pikir logika dan penalaran. Untuk melanjutkan studi ke bidang Teknik tidak hanya mengandalkan kemampuan dalam Matematika saja tidaklah cukup. Pada makalah ini, akan dibahas keterkaitan dan penerapan Matematika dalam ilmu Teknik Sipil khususnya pada bab Persamaan Non Linier dengan menggunakan Metode Iterasi Titik Tetap.
Pembahasan
Didalam usaha mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model dari suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam model. Dalam beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, akan tetapi lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik analisa matematika murni tidak dapat memberikan solusi. Persamaan non linier sebagai model matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil dengan menggunakan metode numerik merupakan salah satu alternatif prosedur pemecahan yang digunakan apabila tidak dimungkinkan perolehan bentuk closed form dari pemodelan. Persamaan non linier akan selalu ditemui pada hampir seluruh bidang kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh:
Persamaan frekuensi alami dari getaran balok uniform yang terjepit pada salah satu ujungnya dan bebas pada ujungnya yang lain untuk bidang teknik struktur
Persamaan kelengkungan jalan untuk bidang teknik transportasi
Persamaan koefisien gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang teknik sumber air
Persamaan untuk menentukan kedalaman pemancangan akibat pengaruh tekanan tanah aktif dan pasif untuk bidang geoteknik
Perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur untuk bidang manajemen konstruksi
Pada tulisan ini, penulis akan membahas tentang persamaan koefisien gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang teknik sumber air dengan menggunakan metode iterasi titik tetap (lelaran).
Metode Iterasi Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen.
Contoh kasus: Koefisien gesek pada aliran turbulen dalam sebuah pipa dengan persamaan
dengan
f = koefisien gesek aliran e = kekasaran pipa
D = diameter pipaRe = bilangan
Hitunglah nilai koefisien gesek untuk dua kasus berikut ini :
D = 0.1 m e = 0.0025 Re = 3 x 104
D = 0.1 m e = 0.0015 Re = 5 x 106
Penyelesaian:
Koefisien gesek pada aliran turbulen sebuah pipa dengan D = 0.1 m, e = 0.0025, dan Re= 3 x 104
Tulis kembali persamaan di atas dalam bentuk:
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan maka akan didapat:
Tuliskan dalam variabel x maka akan didapat:
Nilai x diatas merupakan nilai g(x), x = g(x). Nilai awal yang digunakan pada contoh kasus ini adalah 1, maka tabel iterasinya adalah sebagai berikut:
Iterasi x g(x) f(x)
1 1,00000 0,053253847 0,94674615295
2 0,05325 0,054123170 0,00086932290
3 0,05412 0,054114128 0,00000904161
4 0,05411 0,054114221 0,00000009292
5 0,05411 0,054114220 0,00000000096
Jadi, nilai koefesien gesek pada aliran turbulen dalam sebuah pipa dengan D= 0.1 m e= 0.0025 Re= 3 x 104 adalah 0,05411.
Koefisien gesek pada aliran turbulen dalam sebuah pipa dengan D= 0,1 m, e= 0,0015, dan Re= 5 x 106
Tulis kembali persamaan di atas dalam bentuk:
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan maka akan didapat:
Tuliskan dalam variabel x maka akan didapat:
Nilai x diatas merupakan nilai g(x), x = g(x). Nilai awal yang digunakan pada contoh kasus ini adalah 1, maka tabel iterasinya adalah sebagai berikut:
iterasi x g(x) f(x)
1 1.0000000000 0.04362590720004 0.9563741
2 0.0436259072 0.04363338006498 0.0000075
3 0.0436333801 0.04363337925616 0.0000000
4 0.0436333793 0.04363337925625 0.0000000
Jadi, nilai koefesien gesek pada aliran turbulen dalam sebuah pipa dengan D= 0.1 m, e= 0.0015, Re= 5 x 106 adalah 0,04363.
Penutup
Koefisien gesek pada aliran turbulen pada sebuah pipa dengan D= 0,1 m, e= 0,0025, dan Re= 3 x 104 adalah 0,05411 , sedangakan koefisien gesek pada aliran turbulen pada sebuah pipa dengan D= 0.1 m, e= 0.0015, Re= 5 x 106 adalah 0,04363. Dalam tulisan ini, penulis menggunakan metode iterasi dalam perhitungan koefisien gesek pada aliran turbulen pada sebuah pipa, hal ini dikarenakan metode iterasi titik tetap memiliki galat yang lebih kecil dibandingkan dengan metode lainnya dalam persamaan non linier.
Dalam kasus ini dapat disimpulkan bahwa Matematika berperan penting dalam bidang Teknik Sipil.
Terimakasih telah membaca PENERAPAN METODE ITERASI TITIK TETAP DALAM REKAYASA SIPIL. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: