Judul: Makalah Peluang new 1
Penulis: Gilda Fransiska
Peluang
Ruang Sampel
Definisi:
Ruang sampel: Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika, dan dilambangkan dengan S.
Titik sampel: tiap-tiap hasil yang mungkin dalam ruang sempel.
Dalam statistik dikenal istilah eksperimen untuk menjelaskan proses mendapatkan sekumpulan data. Contoh dari eksperimen statistik adalah melempar koin. Dalam eksperimen ini ada dua kemungkinan kejadian (outcomes), muka(head) atau belakang(tail).
Contoh:
Ruang sampel dari eksperimen melempar mata uang adalah:
S = { H, T }
dimana H dan T bersesuaian dengan muka(head) dan belakang(tail )
Contoh: melempar dadu -> S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
melempar koin dua kali -> S = {GA, GG, AA, AG}
G = gambar, A = angka
Kejadian (Event)
Event adalah subset(himpunan bagian) dari ruang sampel, yaitu suatu kejadian dengan kondisi tertentu.
Contoh:
Diberikan suatu ruang sampel S = {t│t ≥ 0} dimana t adalah umur dalam satuan tahun suatu komponen elektronik. Suatu kejadian A adalah umur komponen yang kurang dari lima tahun, atau dituliskan A = {t│0 ≤ t < 5}.
Operasi pada kejadian
Irisan (Intersection) dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang elemennya termasuk dalam A dan B.
Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A U B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya.
Komplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A', adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidak termasuk dalam A.
Hubungan antara kejadian dan ruang sampel dapat digambarkan dengan diagram Venn.
1
2
3
4
6
5
7
A
B
C
S
Dalam suatu diagram Venn misalkan, ruang sampel di gambarkan sebagai persegi panjang dan kejadian dinyatakan sebagai lingkaran di dalamnya.
A ∩ B = region 1 dan 2
B ∩ C = region 1 dan 3
A U C = region 1,2,3,4,5,7
B′ ∩ A = region 4 dan 7
A ∩ B ∩ C= region 1
(A U B) ∩ C′ = region 2, 6 dan 7
Contoh :
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul
Ruang sampel
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Kejadian munculnya angka genap, A
A = {2, 4, 6}
Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B
B = {5, 6}
Irisan A dan B
A ∩ B = {6}
Gabungan A dan B
A U B = {2, 4, 5, 6}
Komplemen dari A
A' = {1, 3, 5}
Menghitung titik sampel
Dalam percobaan statistika, semua kejadian yang mungkin dapat ditentukan tanpa harus mendaftarkan satu-per-satu.
Teorema:
Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara, dan operasi kedua dengan n2 cara maka dua operasi dapat dilakukan dengan n1n2 cara.
Contoh:
Ada berapa titik sampel jika dua buah dadu dilempar bersama-sama.
Jawab: (6)(6)=36 cara.
Teorema:
Bila ada k operasi dengan masing-masing mempunyai n1, n2,… , nk cara maka terdapat (n1)(n2)…(nk) cara.
Contoh:
Dari 10 orang mahasiswa akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari 3 orang yang berbeda, yaitu 1 ketua, 1 sekertaris dan 1 bendahara. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk?
Jawab : terdapat 10 cara untuk memilih ketua, diikuti oleh sembilan cara untuk memilih sekretaris, dan di ikuti 8 cara untuk memilih bendahara.Berdasarkan teorema kepengurusan yang mungkin terbentuk adalah 10 x 9 x 8 = 780
Kasus permutasi adalah experimen terhadap suatu obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen dalam H namun urutan elemen-elemen H pada setiap titik sampelnya diperhatikan.
Definisi:
Permutasi adalah sebuah susunan yang dapat dibentuk dari semua atau sebagian kumpulan objek.
Teorema :
Bila terdapat n objek yang berbeda terdapat n! permutasi.
Contoh:
Bila terdapat 3 huruf a,b,c maka jumlah permutasinya 3!=(3)(2)(1)=6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, cba
Teorema:
Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda diambil r adalah:
nPr=n!n-r!Contoh:
Dua tiket lotere diambil dari 20 untuk hadiah pertama dan kedua. Tentukan
jumlah titik sampel kejadian tersebut:
20P2=20!18!=2019=380Teorema:
Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda disusun melingkar adalah (n-1)!, dimana satu objek dianggap mempunyai posisi tetap sehingga ada (n-1) yang disusun.
Bila objek-objek tersebut ada yang sama, maka akan terdapat susunan yang berulang. Misalkan dari tiga huruf a,b,c dengan b=c=x, maka kemungkinan susunan adalah axx, axx, xax, xax, xxa, xxa sebenarnya hanya ada 3 susunan yang berbeda. Susunan tersebut dihitung dengan cara 3!/2! = 3.
Teorema:
Jumlah permutasi yang berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 jenis 1, n2
jenis 2, ... ,nk jenis ke-k adalah:
n!n1!n2!⋯nk!Contoh:
Terdapat lampu merah 3, lampu kuning 4, dan lampu biru 2 akan dipasang dengan tiga sinar pada 9 socket. Berapa kemungkinan yang dapat disusun.
Jawab:
9!3!4!2!=1260 caraBila diberikan n objek kemudian akan dipartisi menjadi r subset disebut sel.
Urutan objek dalam sel tidak penting. Suatu contoh diberikan 5 huruf a, i, u, e, o akan dipartisi menjadi dua sel masing-masing berisi 4 dan 1, maka susunan yang mungkin adalah:
{(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)}, {(e, i, o, u), (a)}, {(a, e, o, u), (i)}, {(a, e, i, u), (o)}
Jumlah partisi tersebut dinotasikan :
54,1=5!4!1!=5Teorema:
Jumlah cara untuk mempartisi sekumpulan n objek menjadi r sel dengan n1 elemen di sel pertama, n2 elemen di sel ke dua dst. adalah:
nn1,n2, ⋯,nr=n!n1!n2!⋯nr!dimana n1 + n2 + ::: + nr = n.
Contoh:
Ada 7 orang akan menginap di Hotel dengan 3 kamar, satu kamar berisi 3 orang dan dua kamar berisi 2 orang. Ada berapa cara untuk menempatkan orang tersebut. Jawab:
73,2,2=7!3!2!2!=210Teorema:
Diberikan n objek akan diambil sebanyak r tanpa memperhatikan urutan, cara pemilihan ini disebut dengan kombinasi, dihitung dengan cara berikut:
nr,n-ratau nr=nr!n-r!Contoh:
Dari 4 orang kimia akan diambil 2 orang, dari 3 orang fisika diambil 1 orang.
Bila orang yang dipilih digabung membentuk suatu kepanitian, ada berapa cara.
Jawab:
4231=63=18Peluang suatu kejadian (Probabilitas dari Event)
Teori peluang secara matematis untuk ruang sampel berhingga maupun tak berhingga merupakan fungsi kejadian yang menetapkan suatu bilangan dinamakan bobot, yang berharga dari 0 sampai 1 ,sehingga kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang berasal dari suatu percobaan statistika dapat dihitung.Untuk menentukan suatu kejadian A, semua bobot titik sampel kita jumlahkan. Jumlah ini disebut dengan peluang dari A, dinotasikan dengan P(A).
Definisi:
Peluang dari kejadian A adalah jumlah dari bobot semua titik sampel dalam A.
Sehingga:
0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ø) = 0 dan P(S) = 1
Contoh:
Suatu mata uang dilempar dua kali. Tentukan peluang sekurang-kurangnya satu head muncul.
Jawab:
Ruang sampel dari percobaan ini adalah:
S = {HH, HT, TH, TT}
Jika mata uang ini rata/seimbang maka peluangnya sama, masing-masing 14Jika A adalah kejadian tersebut maka:
A = {HH, HT, TH} dan PA=14+14+14=34Contoh:
Sebuah dadu dilempar dimana kemunculan bilangan genap mempunyai peluang
dua kali lebih besar. Jika E adalah suatu kejadian bahwa bilangan yang muncul
kurang dari 4 tentukan P(E).
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan peluang ganjil adalah
w (ada 3 bilangan ganjil yaitu 1,3 dan 5 sehinga jumlah peluang ganjil adalah 3 x w=3w) dan peluang genap adalah 2w(ada 3 bilangan genap yaitu 2, 4,dan 6 sehinga jumlah peluang genap adalah 3 x 2w=6w). Karena totalnya 1 maka 3w + 6w = 9w = 1, sehingga w=19E = {1, 2, 3} sehingga bisa dimisalkan sebagai {w,2w,w} dan PE=19+29+19=49Teorema:
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah
PA=nNContoh:
Diambil 5 kartu poker, tentukan peluang terambil 2 as dan 3 jack.
Jawab:
PC=4243525=0.9×10-5Contoh :
Dua buah dadu di lempar keatas secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya angka berjumlah 5!
Jawab :
Hasil yang dimaksud n = 4 , yaitu (1,4),(4,1),(2,3),(3,2)
Hasil yang mungkin N = 36, yaitu (1,1),(1,2),(1,3) ,............,(6,6)
PA=436=0,11Aturan Penjumlahan
Teorema:
Jika A dan B adalah dua buah kejadian sebarang maka:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Bukti:
Perhatikan diagram Venn pada gambar .
A ∩ B
A
B
T
Dari operasi gabungan dua himpunan diperoleh
PA∪B=PA∩B'+PA∩B+PB∩A'Dari gambar diperoleh
PA=PA∩B'+PA∩B ,maka PA∩B'=PA-P(A∩B)PB=PB∩A'+PA∩B , maka PB∩A'=PB-P(A∩B)Sehingga
PA∪B=PA∩B'+PA∩B+PB∩A'=PA-PA∩B+PA∩B+PB-PA∩B=PA+PB-P(A∩B)P(A U B) adalah jumlah peluang titik sampel dalam (A U B). P(A)+P(B) menyatakan jumlah semua peluang dalam A dan jumlah semua peluang dalam B. Jadi peluang (A ∩ B) telah dijumlahkan dua kali. Karena peluang semua titik dalam (A ∩ B) adalah P(A ∩ B) maka peluang ini harus dikurangkan sekali untuk mendapatkan jumlah peluang dalam (A U B), yaitu P(A U B).
Akibat:
Jika A dan B kejadian terpisah maka
P(A U B) = P(A) + P(B)
Akibat:
Jika A1, A2, A3,…, An saling terpisah maka
P(A1 U A2 U … U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
Akibat:
Jika A1, A2, A3, …, An adalah partisi dari ruang sampel S maka
P(A1 U A2 U… U An) = P(A1) + P(A2) + ::: + P(An)
= P(S)
= 1
Teorema:
Untuk tiga kejadian A, B, dan C
P(A U B U C) =P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C)- P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Contoh:
Peluang Paula lulus matematika adalah 2/3 lulus bahasa inggris 4/9. Jika peluang lulus keduanya 1/4, berapa peluang lulus sekurang-kurangnya satu pelajaran.
Jawab:
P(M U E) = P(M) + P(E) - P(M ∩ E) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36
Contoh:
Dua dadu dilempar, tentukan probabilitas jumlahnya 7 atau 11.
Jawab:
Misalkan P(A) adalah dua dadu dengan jumlah 7, P(B) adalah dua dadu dengan jumlah 11.
P(A U B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/18 = 2/9
Teorema:
Jika A dan A′ adalah kejadian yang saling berkomplemen maka:
P(A) + P(A′) = 1
Bukti:
Karena (A U A′) = S , dan himpunan A dan A′ terpisah, maka
1 = P(S)
= P(A U A′)
= P(A) + P(A′)
Contoh:
Dua buah barang dipilih secara acak dari 12 barang diantaranya ada 4 barang berkondisi cacat (rusak). Tentukan probailitas bahwa:
(a). kedua barang tersebut cacat
(b). kedua barang berkondisi baik
(c). paling sedikit satu barang cacat
Banyaknya cara untuk memilih 2 barang dari 12 barang = n(S)
nS=122=12!2!12-2!=66
Dimisalkan : A = kejadian terpilihnya kedua barang cacat
B = kejadian terpilihnya kedua barang baik
Maka
nA=42=4!2!4-2!=6 nB=82=8!2!8-2!=28a). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang cacat =PA=n(A)n(S)=666
b). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang baik =PB=n(B)n(S)=2866
c). Misalkan; = probabilitas terpilihnya 0- barang yang cacat
= probabilitas terpilihnya 1- barang yang cacat
= probabilitas terpilihnya 2- barang yang cacat
PS=P0+P1+P2=1P0=PB=2866
Probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat = Probabilitas (1-barang yang cacat , 2-barang yang cacat) =P1+P2=1-P0=1-2866=3866
Jadi probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat adalah 3866Peluang Bersyarat (Probabilitas Bersyarat)
Probabilitas event B terjadi jika diketahui bahwa event A telah terjadi disebut dengan probabilitas bersyarat dan dinotasikan dengan P(B│A). Penulisan ini dibaca "peluang B terjadi diberikan A telah terjadi".
Ilustrasi:
Misalkan B adalah bilangan kuadrat sempurna bila sebuah dadu dilempar.
Seperti contoh sebelumnya (contoh pada peluang suatu kejadian) bilangan genap mempunyai peluang dua kali dibanding yang ganjil. Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan peluang 19 dan 29 untuk bilangan ganjil dan genap. Ruang sampel B adalah B = {1, 4} dengan P(B) = 13. Misalkan A adalah suatu event dimana bilangan yang muncul lebih besar dari atau sama dengan 4, atau A = {4, 5, 6}. Untuk menghitung peluang B terjadi relatif terhadap event A. kita harus menghitung dahulu peluang baru A proposional dengan peluang semula demikian sehingga jumlahnya 1. Misalkan w adalah peluang bilangan ganjil dan 2w peluang bilangan genap dari event A, maka w = 15 . Event B│A = {4}, sehingga P(B│A) = 25Atau kita dapat menuliskan:
PBA=25=2959=PA⋂BPADefinisi:
Peluang bersyarat dari B diberikan A dinotasikan dengan P(B│A) didefinisikan dengan :
PBA=PA∩BPA jika PA>0Contoh:
Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu universitas adalah 10.000 orang. Himpunan A mewakili 2.000 mahasiswa lama (a). Himpunan B mewakili 3.500 mahasiswa putri (b). Sedangkan 800 dari 3.500 mahasiswa putri merupakan mahasiwa lama (c). A dan B adalah masing-masing merupakan himpunan bagian dari S. Kita memilih satu orang mahasiswa secara acak, maka kejadian bersyarat (A/B) adalah kejadian yang mewakili mahasiswa lama dengan syarat bahwa mereka putri.
Tentukan
(a). Apabila dari 10.000 mahasiswa tersebut dipilih satu secara acak, berapakah probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut mahasiswa lama dengan syarat putri.
PA∩B=cN =80010.000 =0,08
PAB= P(lama/putri)
=PA∩BPB =c/Nb/N=8003500 = 0,23
(b). Dengan argumentasi yang sama, probabilitas bahwa mahasiswa yang terpilih secara acak tersebut mahasiswa putri dengan syarat bahwa harus juga mahasiswa lama, maka:
PBA= P(putri/lama)
=PA∩BPA =c/Na/N=8002000
= 0,40
Event Independent (Kejadian saling lepas)
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya.
Definisi:
Dua kejadian A dan B independent jika dan hanya jika:
P(B│A) = P(B) dan P(A│B) = P(A)
jika tidak demikian maka dependent.
Contoh:
Misal A adalah kejadian munculnya gambar spade pada pengambilan pertama dan B adalah kejadian munculnya gambar spade pada pengambilan kedua.
Penyelesaian:
P(A) = P(B) =1352= 0,25. Jika dilakukan pengembalian, maka P(B|A) = P(B) = 0,25. Jika tidak dilakukan pengembalian maka P(B|A) = 12/51
Aturan Perkalian
Teorema:
Jika dalam suatu eksperimen dua event A dan B dapat terjadi maka:
PA∩B=PAPBAContoh:
Misalkan dalam suatu box terdapat 20 sekering, 5 diantaranya putus. Akan diambil dua secara random dengan pengambilan pertama tanpa dikembalikan.
Tentukan peluang keduanya putus.
Jawab:
Peluang pertama putus adalah 520=14 yang kedua putus adalah 419, sehingga
PA∩B=14419=119Contoh:
Satu tas pertama berisi 4 bola putih dan 3 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari tas pertama dimasukkan ke tas kedua (secara random). Tentukan peluang mengambil satu bola dari tas kedua berwarna hitam.
Jawab:
Misalkan B1,B2 dan W1 mewakili pengambilan bola hitam dari tas 1, bola hitam dari tas 2 dan bola putih dari tas 1. Event yang dimaksud adalah B1 ∩ B2 digabung dengan W1 ∩ B2, peluang dari event tersebut adalah:
P[(B1 ∩ B2) or (W1 ∩ B2)] = P(B1 ∩ B2) + P(W1 ∩ B2)
= P(B1)P(B2│B1) + P(W1)P(B2│W1)
=3769+4759=3863Untuk mendapatkan peluang bahwa dua kejadian bebas akan terjadi bersama, bias diperoleh dengan mencari hasil kali peluang dua kejadian.
Teorema:
Dua even A dan B adalah independent jika dan hanya jika
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Bukti : PA∩B=PAPBADari Definisi Dua kejadian A dan B independent jika dan hanya jika:
P(B│A) = P(B) dan P(A│B) = P(A)
Maka PA∩B=PAPBA PA∩B=PAP(B)Contoh:
Sepasang dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang jumlah 7 dan 11.
Jawab:
Misalkan
A1 : pelemparan pertama berjumlah 7
A2 : pelemparan kedua berjumlah 7
B1 : pelemparan pertama berjumlah 11
B2 : pelemparan kedua berjumlah 11
P[(A1 ∩ B2) U (B1 ∩ A2)] = P(A1 ∩ B2) + P(B1 ∩ A2)
= P(A1)P(B2) + P(B1)P(A2)
=16118+11816=154Teorema:
Jika dalam suatu eksperimen event-event A1, A2, A3,…,Ak dapat terjadi, maka :
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩…∩ Ak) = P(A1) P(A2│A1) P(A3│A1 ∩ A2)...P(Ak│A1 ∩ A2 ∩…∩ Ak-1)
Jika event-event A1, A2, A3,…,Ak saling lepas (independent) maka:
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1)P(A2)P(A3)…P(Ak)
Contoh:
Tiga lembar kartu diambil secara berturutan tidak dikembalikan. Tentukan peluang dari event A1 ∩ A2 ∩ A3 dimana:
A1 : kartu pertama adalah ACE merah
A2 : kartu kedua adalah 10 atau JACK
A3 : kartu ketiga lebih besar dari 3 dan kurang dari 7
Jawab:
PA1=252 PA2A1=851 PA3A1∩A2=1250Sehingga diperoleh:
PA1∩A2∩A3=PA1PA2A1PA3A1 ∩A2=2528511250=85525Kaidah Bayes (Teorema Bayes)
Kaidah bayes atau teori bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Inggris tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi. Sejak perang dunia ke-2 telah berkembang apa yang disebut "Bayesian decision Theory", yaitu teori keputusan berdasarkan perumusan Thomas Bayes yang bertujuan untuk memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (Decision making uder uncertainty).
Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misalkan B) dengan syarat peristiwa lain (misalkan A) telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi. Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki kaidah probabilitas.
Peluang bersyarat kita gunakan apabila dalam ruang sampel (S) terdapat satu peristiwa saling lepas, sedangkan Aturan bayes kita gunakan jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exclusive), Peristiwa A dapat dinyatakan sebagai gabungan dua atau lebih peristiwa yang mutually exclusive.
Tinjau diagram Venn
58547050800
Peristiwa A dapat dinyatakan sebagai gabungan dua peristiwa yang mutually exclusive, yaitu (B∩A) dan (B'∩A). Jadi
A = (B ∩ A) U (B′ ∩ A)
maka P(A) dapat dihitung sebagai berikut:
P(A) = P[(B ∩ A) U (B′ ∩ A)]
= P(B ∩ A) + P(B′ ∩ A)
Dari
PBA=PA⋂BPA dan PAB=PA⋂BPB PBAPAB = PA⋂BPA PA⋂BPB = PBPAPBA=PBPAPABDenganP(A) = P(B ∩ A) + P(B′ ∩ A) maka,
16637077470PBA=PBPABPB∩A+PB'∩A =PBPABPBPAB+PB'PAB'PBrA=PBi∩Ar=1kPBi∩A =PBiPABir=1kPBiPABi untuk r=1, 2, …kKaidah Bayes ini menyatakan, jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exclusive), yaitu misalkan B1, B2, B3, …, Bn yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila ada peristiwa lain (misalkan A) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peritiwa B1, B2, B3, …, Bn dengan diketahui peristiwa A tersebut, maka:
PBrA=PBi∩Ar=1kPBi∩A=PBiPABir=1kPBiPABi untuk r=1, 2, …k
Pada kaidah ini, terdapat beberapa bentuk probabilitas, yaitu :
Probabilitas awal (probabilitas prior), yaitu probabilitas berdasarkan informasi yang tersedia (sebelum ada tambahan informasi), yaitu P(Br).
Probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa didahului oleh terjadinya peristiwa lain, yaitu P(Ar|Br)
Peristiwa ganda, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas (probabilitas gabungan), yaitu {∑P(Br)∙P(Ar|Br)}.
Probabilitas posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi tambahan, yaitu P(Br|Ar).
Contoh soal 1:
Tiga kotak masing masing memiliki dua laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Di dalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?
Penyelesaian :
Misalkan : B1 : Peristiwa terambil kotak I
B2 : Peristiwa terambil kotak II
B3 : Peristiwa terambil kotak III
A : Peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas
A ini merupakan tambahan informasi
Probabilitas awal (Probabilitas Prior)
PB1=13=0,333PB2=13=0,333PB3=13=0,333Probabilitas bersyarat
PAB1=1PAB2=0PAB3=12=0,5Probabilitas ganda (R)
R=PB1∙PAB1+PB2∙PAB2+PB3∙PAB3 =0,3331+0,3330+0,3330,5 =0,333+0+0,1665 =0,4995Probabilitas posterior
PB3A=PB3PAB3r=13PBrPABr untuk r=1, 2, 3 =0,3330,50,333=0,16650,4995 =0,333Daftar Pustaka
Wapole R.E and Myers Raymond H, 1995, Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuan, ITB : Bandung.
Hasan. M.Iqbal, 2008, Statistika 2 (statistik inferensif) edisi ke-2, PT. Bumi aksara : Jakarta.
Supranto. J, 2000, Statistik dan teori aplikasi edisi ke-6, Erlangga : Jakarta.
Abadyo and Permadi Hendro, 2004, Metoda statistika praktis, UM Press: Malang.
http://radar.ee.itb.ac.id/~suksmono/Lectures/el2002/ppt/I.%20Konsep%20Peluang.pdfhttp://images.chrhad.multiply.multiplycontent.com/attachment/0/SLVZ1QoKCqcAAErQWgM1/ch2.pdf?key=chrhad:journal:22&nmid=112571313http://hrisdianto.files.wordpress.com/2010/02/pengantar-probabilitas-drs1-arief-a-m-si.pdfMakalah Statistika Matematika 1
PELUANG
1658620370628
Oleh: Kelompok 1
Anggota: Aisyahtin afidah A(093214013)
Dedi Pujo Santoso(093214204)
Anggerina Kartika Sari(093214205)
Maulidya(093214208)
Antoni Nur Hidayat(093214214)
Siti Rohmawati(093214224)
PRODI S1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
TAHUN PELAJARAN 2011
Terimakasih telah membaca Makalah Peluang new 1. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: