Judul: Sejarah Kalkulus
Penulis: Cepy Andrian
Sejarah Kalkulus
SEJARAH KALKULUS
A. DEFINISI KALKULUS
Kalkulus ( bahasa Latin , kalkulus , batu kecil yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang matematika terfokus pada batas , fungsi , turunan , integral , dan deret tak hingga . Mata kuliah ini merupakan bagian utama modern pendidikan matematika . Ini memiliki dua cabang utama, diferensial kalkulus dan integral kalkulus , yang berhubungan dengan teorema fundamental kalkulus . Kalkulus adalah studi tentang perubahan, dengan cara yang sama bahwa geometri adalah studi tentang bentuk dan aljabar adalah studi tentang operasi dan aplikasi mereka untuk memecahkan persamaan. Sebuah kursus dalam kalkulus adalah pintu gerbang ke lain, kursus lebih maju dalam matematika dikhususkan untuk mempelajari fungsi dan batas, luas disebut analisis matematis . Kalkulus memiliki aplikasi luas dalam ilmu pengetahuan , ekonomi , dan rekayasa dan dapat memecahkan banyak masalah yang aljabar saja tidak cukup.
Secara historis, kalkulus disebut "kalkulus infinitesimals ", atau" kalkulus ". Lebih umum,kalkulus (kalkuli jamak) mengacu pada metode atau sistem perhitungan dipandu oleh manipulasi simbolis ekspresi. Beberapa contoh terkenal lainnya kalkuli adalah kalkulus proposisional , kalkulus variasional , kalkulus lambda , pi kalkulus , dan bergabung kalkulus .
B. SEJARAH KALKULUS
ZAMAN KUNO
Isaac Newton mengembangkan penggunaan kalkulus dalam bukunya hukum gerak dangravitasi .
Periode kuno memperkenalkan beberapa ide yang menyebabkan terpisahkan kalkulus, tetapi tampaknya tidak telah mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan sistematis. Perhitungan volume dan daerah, salah satu tujuan dari integral kalkulus, dapat ditemukan di Mesir Moskow papirus (c. 1820 SM), tetapi formula instruksi belaka, dengan indikasi untuk metode, dan beberapa dari mereka salah. Sejak usia matematika Yunani , Eudoxus (sekitar 408-355 SM) menggunakan metode kelelahan , yang prefigures konsep batas, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes (± 287-212 SM)mengembangkan gagasan ini lebih jauh , menciptakan heuristik yang menyerupai metode kalkulus integral. Para metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5 , Zu Chongzhimembentuk metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari volume sebuah bola .
PADA ABAD PERTENGAHAN
Dalam matematika abad ke-14 India Madhava dari Sangamagrama dan sekolah Kerala astronomi dan matematika menyatakan banyak komponen kalkulus seperti deret Taylor ,terbatas seri perkiraan, sebuah uji integral untuk konvergensi , bentuk awal diferensiasi, Istilah integrasi dengan istilah, metode iteratif untuk solusi non-linear persamaan, dan teori bahwa area di bawah kurva adalah integralnya. Beberapa mempertimbangkanYuktibhāṣā sebagai teks pertama pada kalkulus.
PADA MASA MODERN
Di Eropa, karya mendasar adalah sebuah risalah karena Bonaventura Cavalieri , yang berpendapat bahwa volume dan daerah harus dihitung sebagai jumlah dari volume dan bidang amat sangat tipis lintas-bagian. Ide-ide serupa dengan 'Archimedes di Cara ini , tetapi risalah ini telah hilang hingga bagian awal abad kedua puluh. Kerja Cavalieri 's tidak dihormati karena metodenya dapat menyebabkan hasil yang salah, dan jumlah yang sangat kecil dia memperkenalkan yang jelek pada awalnya.
Studi formal kalkulus dikombinasikan infinitesimals Cavalieri 's dengan kalkulus terbatas dari perbedaan dikembangkan di Eropa pada sekitar waktu yang sama. Pierre de Fermat , mengklaim bahwa dia dipinjam dari Diophantus , memperkenalkan konsep adequality , yang diwakili kesetaraan hingga jangka kesalahan sangat kecil. kombinasi ini dicapai olehJohn Wallis , Isaac Barrow , dan James Gregory , dua terakhir membuktikan teorema dasar kalkulus kedua sekitar 1675.
Para aturan produk dan aturan rantai , gagasan derivatif lebih tinggi , deret Taylor , danfungsi analitis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika fisika . Dalam publikasi, Newton diulang ide-idenya sesuai dengan idiom matematika dari waktu, menggantikan perhitungan dengan infinitesimals oleh argumen geometris setara yang dianggap tercela. Dia menggunakan metode kalkulus untuk memecahkan masalah gerak planet, bentuk permukaan cairan berputar, oblateness bumi, gerakan berat geser pada cycloid , dan banyak masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica ( 1687). Dalam pekerjaan lain, ia mengembangkan ekspansi seri untuk fungsi, termasuk kekuatan fraksional dan irasional, dan jelas bahwa ia memahami prinsip-prinsip dari deret Taylor . Dia tidak mempublikasikan semua penemuan ini, dan saat ini metode yang sangat kecil masih dianggap jelek.
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah orang pertama yang mempublikasikan hasilnya pada pengembangan kalkulus.
Ide-ide ini adalah sistematis ke dalam kalkulus sejati infinitesimals oleh Gottfried Wilhelm Leibniz , yang pada awalnya dituduh plagiarisme oleh Newton. Dia sekarang dianggap sebagai penemu independen dan kontributor kalkulus. Nya kontribusi adalah untuk menyediakan sebuah set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil, memungkinkan perhitungan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai , dalam diferensial dan bentuk integral. Tidak seperti Newton, Leibniz membayar banyak perhatian pada formalisme, sering menghabiskan hari-hari menentukan simbol-simbol yang sesuai untuk konsep.
Leibniz dan Newton biasanya baik dikreditkan dengan penemuan kalkulus. Newton adalah yang pertama menerapkan kalkulus untuk umum fisika dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Wawasan dasar yang baik Newton dan Leibniz diberikan adalah hukum diferensiasi dan integrasi, kedua dan turunan yang lebih tinggi, dan gagasan dari seri polinomial aproksimasi. Saat Newton, teorema dasar kalkulus dikenal.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka pertama, ada kontroversi besar di mana matematika (dan karena itu negara mana) kredit layak. Newton berasal hasilnya pertama, tetapi Leibniz dipublikasikan pertama. Newton mengklaim Leibniz mencuri ide dari catatan yang tidak dipublikasikan, yang Newton telah dibagi dengan beberapa anggota dari Royal Society . Kontroversi ini dibagi berbahasa Inggris ahli matematika dari matematikawan benua selama bertahun-tahun, sehingga merugikan matematika Inggris. Pemeriksaan yang seksama atas karya-karya dari Leibniz dan Newton menunjukkan bahwa mereka tiba di hasil mereka secara independen, dengan Leibniz memulai pertama dengan integrasi dan Newton dengan diferensiasi. Saat ini, baik Newton dan Leibniz diberikan kredit untuk mengembangkan kalkulus secara independen. Ini adalah Leibniz, namun, yang memberikan disiplin baru namanya. Newton disebut kalkulus " ilmu fluxions ".
Sejak saat Leibniz dan Newton, banyak yang hebat matematika telah memberi kontribusi pada pembangunan berkelanjutan kalkulus. Salah satu karya pertama dan paling lengkap pada analisis yang terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi .
Maria Gaetana Agnesi C. MACAM-MACAM KALKULUS
DIFERENSIAL KALKULUS
Garis singgung pada (x, f (x)). F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan (naik lebih dari menjalankan) garis singgung dengan kurva pada titik tersebut.
Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dariturunan dari suatu fungsi. Proses untuk menemukan turunan disebut diferensiasi.Mengingat fungsi dan titik dalam domain, turunan pada titik itu adalah cara pengkodean perilaku skala kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi pada setiap titik dalam domainnya, adalah mungkin untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi asli. Dalam jargon matematika, derivatif adalah operator linear yang input dan output fungsi fungsi kedua. Ini lebih abstrak dari banyak proses dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan angka dan output nomor lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka itu output, dan enam jika fungsi mengkuadratkan diberi masukan tiga, maka itu output sembilan. Derivatif, bagaimanapun, dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan. Ini berarti bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi seperti bahwa dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya-dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan ternyata menjadi fungsi penggandaan.)
Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebutprima . Dengan demikian, turunan dari fungsi f adalah f ', diucapkan "f prima." Misalnya, jika f (x) = x 2 adalah fungsi mengkuadratkan, maka f '(x) = 2 x adalah turunannya, fungsi penggandaan.
Jika input merupakan fungsi waktu, maka turunan yang mewakili perubahan yang berkenaan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai input dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output, maka turunan dari fadalah bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola.
Jika suatu fungsi linear (yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus), maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai y = mx + b, di mana x adalah variabel independen, y adalah variabel dependen, b adalah y-intercept, dan:
Hal ini memberikan nilai yang pasti untuk kemiringan garis lurus. Jika grafik fungsi bukanlah garis lurus, bagaimanapun, maka perubahan y dibagi dengan perubahan xbervariasi. Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan perubahan output terhadap perubahan input. Agar konkret, marilah f fungsi, dan memperbaiki titik dalamdomain dari f. (A, f (a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah angka mendekati nol,maka h + adalah angka yang dekat dengan. Oleh karena itu (a + h, f (a + h)) dekat dengan(a, f (a)). Kemiringan antara dua titik adalah
Ungkapan ini disebut hasil bagi perbedaan. Sebuah garis melalui dua titik pada kurva disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis garis potong antara (a, f (a)) dan (a + h, f (a + h)). Garis garis potong hanya perkiraan dengan perilaku fungsi tersebut pada titik karena itu tidak menjelaskan apa yang terjadi antara a dan h +. Hal ini tidak mungkin untuk menemukan perilaku dengan dengan mengatur jam ke nol karena ini akan memerlukan membagi dengan nol, yang tidak mungkin. Derivatif didefinisikan dengan mengambil batas sebagai h cenderung nol, yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol:
Secara geometris, derivatif adalah kemiringan dari garis singgung pada grafik f pada.Garis singgung batas garis garis potong seperti derivatif adalah batas quotients perbedaan. Untuk alasan ini, derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f.
Berikut ini adalah contoh khusus ini, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3. Misalkan f (x) = x 2 menjadi fungsi mengkuadratkan.
F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva yang pada saat itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai limit dari lereng garis garis potong. Di sini fungsi yang terlibat (ditarik merah) adalahf (x) = x 3 - x. Garis singgung (dalam hijau) yang melalui titik (-3 / 2, -15 / 8) memiliki kemiringan 23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda.
Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik (3,9) adalah 6, artinya, ia akan naik enam kali lebih cepat seperti yang akan ke kanan. Proses batas yang baru saja dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan. Ini mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan, atau hanya turunan dari fungsi mengkuadratkan untuk pendek. Sebuah perhitungan yang mirip dengan yang di atas menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan.
INTEGRAL KALKULUS
Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses menemukan nilai terpisahkan itu disebut integrasi. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari dua terkait operator linear .
Integral tak tentu adalah antiturunan , operasi terbalik dengan derivatif. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. (Ini penggunaan huruf besar dan huruf kecil untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum dalam kalkulus.)
Masukan integral tertentu fungsi dan output sebuah angka, yang memberikan daerah antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas dari sejumlah bidang persegi panjang, yang disebut penjumlahan Riemann .
Sebuah contoh yang memotivasi adalah jarak perjalanan dalam waktu tertentu.
Jika kecepatan adalah konstan, perkalian hanya diperlukan, tetapi jika perubahan kecepatan, maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk menemukan kejauhan. Salah satu metode tersebut adalah untuk perkiraan jarak yang ditempuh oleh putus waktu ke interval pendek banyak waktu, kemudian mengalikan waktu yang telah berlalu di masing-masing interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian mengambil jumlah (a jumlah Riemann ) dari perkiraan jarak tempuh pada setiap interval. Ide dasarnya adalah bahwa jika hanya berlalu waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama. Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh. Kita harus mengambil batas semua jumlah Riemann seperti untuk menemukan jarak yang tepat bepergian.
Integrasi dapat dianggap sebagai tolok area di bawah kurva, didefinisikan oleh f (x),antara dua titik (di sini a dan b).
Jika f (x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan seperti itu bervariasi dari waktu ke waktu, jarak yang ditempuh (antara waktu diwakili oleh a dan b) adalah luas daerah yang diarsir s.
Untuk perkiraan bahwa area, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antara a dan bmenjadi beberapa segmen yang sama, panjang setiap segmen diwakili oleh Ax simbol. Untuk setiap segmen kecil, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f (x). Call bahwa hnilai. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan tinggi h memberikan jarak (waktu Axdikalikan dengan kecepatan h) perjalanan di segmen itu. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu, f (x) = h. Jumlah dari semua persegi panjang seperti memberikan perkiraan daerah antara sumbu dan kurva, yang merupakan perkiraan dari total jarak yang ditempuh. Sebuah nilai yang lebih kecil untuk Ax akan memberikan persegi panjang lebih dan dalam kebanyakan kasus pendekatan yang lebih baik, tapi untuk jawaban yang tepat kita perlu mengambil batas sebagai Ax mendekati nol.
Simbol integrasi adalah , S memanjang (S singkatan dari "jumlah"). Integral tertentu ditulis sebagai:
dan dibaca "integral dari b ke f-of-x terhadap x." Para notasi Leibniz dx dimaksudkan untuk menyarankan membagi area di bawah kurva ke dalam jumlah tak terbatas persegi panjang, sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil. Dalam formulasi dari kalkulus didasarkan pada batas, notasi
harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah itu, sebagai output; dx bukan angka, dan tidak sedang dikalikan dengan f (x).
Integral tak tentu, atau antiturunan, tertulis:
Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama, dan oleh karena itu antiturunan dari sebuah fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi yang berbeda hanya dengan suatu konstanta. Karena turunan dari fungsi y = x ² + C, di mana Cadalah setiap konstan, adalah y '= 2 x, antiturunan dari yang terakhir diberikan oleh:
Sebuah konstan belum ditentukan seperti C di antiturunan dikenal sebagai konstanta integrasi
D. PENGARUH KALKULUS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
KEGUNAAN KALKULUS
DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Ditujukan untuk memenuhi salah satu tugas
mata kuliah: kalkulus
Disusun oleh
Nama : Uyung Abdul Hakim
Kelas : IF B
NIM : 1209705145
FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGRI
SUNAN GINUNG DJATI
BANDUMG
2009
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur senantiasa kita panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena rahmatnyalah kita masih diberi kehidupan yang sejahtera. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada jungjungan besar kita Habibana Wanabiyana Muhammad SAW, karena binmbingannyalah kita bisa berjalan pada jalan yang diridoi Allah SWT.
Dan saya mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua yang senantiasa memberikan dukungan nya serta do'anya.Dan tak lupa juga saya ucapkan terima kasih kepada Dosen kalkulus.yang telah memberikan arahannya sehingga makalah ini bisa diselesaikan pada waktu yang telah ditetukan.
Mudah-mudahan dengan telah selesainya makalah ini dapat bermanfaat kususnya bagi saya sendiri dan umunya bagi mahasiswa dan mahasiswi yang sedang mencari pendidikan di perguruan tinggi Indonesia. Dan mudah-mudahan dapat memberikan pengaruh yang positif sehingga generasi penerus bangsa ini menjadi ebih paham dan bermoral dan juga menjadi manusia yang berguna bagi bangsa dan negara.Terima kasih.
Bandung, 14 Desenber 2009
penyusun
KATA PENGANTAR…………………………………………………………………….i.
DAFTAR ISI…………………………………………………………………………......ii
BAB I : PENDAHULUAN ……………………………………………………............. 1
A : Latar Belakang Masalah…………………………………………….. ..1
B : Rumusan Masalah…………………………………………………….. 2
BAB II : PEMBAHASAN……………………………………….………………..…….. 3
A : Pengertian Kalkulus……………………………………………….……3
B : Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus………………………………………...:4
B.1. Turunan…………………………………………………………….4
B.2. Integral………………………………………………………..……4
C : Bentuk-Bentuk Kalkulus……………………………………………...…4
C.1. Manipulasi Digit…………………………………………………....5
C.2. Generalisasi……………………………………………………… ..6
D: Pengembangan Kalkulus…………………………………………………6
D.1. Kalkulus Dalam Dunia Pendidikan……………………………...…7
D.2. Kalkulus Dunia Popule…………………………………………….7
BAB III : KESIMPULAN…………………………………………………..……………8
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………...…..9
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Mata kuliah kalkulus diperguruan tinggi merupakan sumber nilai dan pedoman dalam pengembangan dan penyelengaraan program studi,guna mengantarkan mahasiswa memantapkan kpribadiannya sebagai manusia seutuhnya. Hal ini berdasarkan pada suatu realitas yang dihadapi, bahwa mahasiswa adalah sebagai generasi bangsa yang harus memilki visi inteletual, religius, berkeadaban, berkemanusiaan dan cinta tanh air dan bangsanya.
Kalkulus adalah mata kuliah ysng berguna untuk membantu mahasiswa memantapkan kepribadiannya, agar secara konsisten mampu mewujudkan nilai-nilai dasar matematika untuk menerapkan,mengembangkan bakat dan keahlian (skill),karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral.
Arkhir-akhir ini adapula beberapa penelitian yang dilakukan oleh para ahli kalkulus terhadap aktivitas pedagang-pedagang di kota.yang kadang-kadang meliputi daerah distribusi yang luas,tetapi biasanya para ahli kalkulus membatasi diri terhadap aktivitas perdagangan yang berdasarkan volume modal yang terbatas.di Indinesia misalnya ada ahli kalkulus yyang mempelajari pedagang-pedagang kaki lima,atau para pedagangf pasar yang membawa barangf dari singapura ke medan atau Jakarta.
System ekonomi yang berdasarkan industri memang tidak menjadi perhatian para ahli kalkulus atau ahli matematika,dan merupaka lapangan para ahli ekonomi sepenuhnya.karena para ahli kalkulus hanya mempelajari hal-hal seperti: aspek kehidupan kaum buruh yang brasal dari daerah pedeasaan atau kota dalam industri,atau pengaruh industri terhadap daerah lainnya.
B. Rumusan masalah
makalah ini memiliki berbagai masalah yang perlu diselesaikan dalam rumusan masalah adalah sebagai berikut
1. apa yang dimaksud dengan pengertian kalkulus
2. apa yang dimaksud dengan prinsip-prinsip dasar kalkulus:
a. turunan
b. Integral
3. apa yang dimaksud dengan bentuk-bentuk kalkulus
a. manipulasi digit
b. generalisasi
4. apa yang dimaksud dengan pengembangan kalkulus
a. kalkulus dalam dunia pendidikan
b. kalkulus dalam dunia populer
C. Tujuan Masalah
Makalah diatas tadi mempunyai tujua sebagai berikut:
1. untuk mengetahui pengertian kalkulus
2. untuk mengetahui prinsip-prinsip dasar kalkulus:
3. untuk mengetahui bentuk-bentuk kalkulus
4. untuk mengetahui pengembangan kalkulus
BAB II
PEMBAHASAN
1. Pengertian Kalkulus
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil" untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung, Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.
2.Prinsip Dasar Kalkulus
Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
B.1. Turunan
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
B.2. Integral
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
3 Bentuk-Bentuk Kalkulus
Kalkulus merupakan sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika daneknik (Engineering).
Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain:
1. differensial
2. integral
3. integral dan diferensial terapan
4. dll.
Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita bahwa untuk apakah kita mempelajari kalkulus? Oleh karena itu dalam makalah ini akan dijelaskan sedikit tentang guna kalkulus bagi kehidupan sehingga kita dapat melihat kalkulus sebagai suatu yang menyenangkan dan dapat membimbing kita.
C.1. Manipulasi digit
Bentuk pembuktian lainnya menggunakan desimal berulang lainnya. Ketika sebuah bilangan dalam notasi desimal dikalikan dengan 10, digit itu tidak akan berubah, namun pemisah desimal akan berpindah satu digit ke kanan. Sehingga 10 x 0,999… sama dengan 9.999….
Pengurangan 0,999… dari 9,999… dapat dilakukan secara digit per digit; di setiap digit setelah pemisah desimal, hasil 9-9 adalah 0. Namun nol yang berulang-ulang ini tidak akan mengubah sebuah bilangan, sehinggi perbedaannya adalah persis 9. Langkah akhirnya kemudian menggunakan aljabar. Misalnya bilangan desimal yang dipertanyakan (0.999…) disebut x. Maka 10x − x = 9. Ini adalah sama dengan 9x = 9. Pembagian kedua sisi oleh 9 menyelesaikan pembuktian: x = 1.[1]
Validitas manipulasi digit pada bukti di atas tidak perlu dianggap sebagai sebuah aksioma; ia mengikuti hubungan dasar antara desimal dengan bilangan yang ia representasikan. Hubungan ini, yang dapat dikembangkan menjadi beberapa cara yang setara, telah membentuk hubungan desimal 0,999… dan 1,000... mewakili bilangan yang sama.
C.2. Generalisasi
Hasil 0,999… = 1 dapat digeneralisasi ke dalam dua cara. Pertama-tama, setiap bilangan bukan nol dengan notasi desimal terhingga (atau dengan kata lain akhiran 0 takhingga) memiliki kembaran dengan akhiran 9 takterhingga. Sebagai contoh, 0,24999… persis sama dengan 0,25. Bilangan-bilangan ini merupakan persis pecahan desimal yang sama dan bilangan-bilangan ini rapat.[21]
Kedua, teorema yang terbandingkan dapat diterapkan pada setiap bilangan pokok (basis). Sebagai contoh, dalam basis 2 (sistem bilangan biner), 0,111… sama dengan 1, dan dalam basis 3 (sistem bilangan terner) 0,222… sama dengan 1. Buku-buku teks analisis real biasanya akan mengabaikan contoh 0,999… dan sebaliknya memberikan contoh-contoh generalisasi ini dari awalnya.
Generalisasi yang paling jauh mengalamatkan sistem bilangan posisional yang paling umum. Sistem-sistem ini juga mempunyai banyak representasi. Sebagai contoh:
• Dalam sistem terner berimbang, 1/2 = 0,111… = 1,111….
• Dalam sistem faktoradik, 1 = 1,000… = 0,1234….
Marko Petkovšek telah membuktikan bahwa ambiguitas ini merupakan konsekuensi yang perlu dalam penggunaan sistem posisional: untuk sistem penamaan semua bilangan real apapun, himpunan bilangan real dengan representasi berganda selalu rapat.
4. Pengembangan kalkulus
Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap kalkulus. Kita ubah pandangan kita yang menganggap kalkulus adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap kalkulus adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan.
Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari kalkulus antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya
D.1. Kalkulus dalam dunia pendidikan
Para siswa matematika sering menolak persamaan 0,999… dengan 1 oleh karena berbagai alasan, mulai dari penampilan kedua angka yang berbeda sampai dengan ketidakpercayaan terhadap konsep limit dan ketidaksetujuan terhadap sifat-sifat infinitesimal. Terdapat banyak faktor yang berkontribusi pada kebingungan ini:
a. Para siswa sering percaya terhadap nosi bahwa sebuah bilangan hanya dapat diwakili oleh satu dan hanya satu cara dengan menggunakan sebuah bilangan desimal. Keberadaan dua bilangan desimal yang berbeda namun mewakili bilangan sama seolah-olah seperti paradoks, terlebih lagi diperkuat oleh tampilan bilangan 1 yang kelihatannya sudah sangat dimengerti.
b. Beberapa siswa menginterpretasikan 0,999…(atau notasi yang sama) sebagai untaian 9 yang sangat banyak, namun terhingga dengan panjang yang tidak ditentukan. Jika mereka menerima sebuah untaian 9 yang takhingga, mereka masih mengharapkan keberadaan 9 terakhir di ketakterhinggaan
c. Intuisi dan pengajaran yang rancu membuat siswa berpikir bahwa limit barisan sebagai sejenis proses takhingga daripada sebagai sebuah nilai yang pasti oleh karena sebuah barisan tidak perlu memiliki limitnya. Siswa-siswa yang menerima perbedaaan antara barisan bilangan dengan limitnya kemungkinan akan menginterpretasikan 0,999…sebagai sebuah barisan daripada limit barisan itu sendiri.
d. Beberapa siswa menganggap 0,999… memiliki nilai yang pasti yang lebih kecil daripada 1 dengan perbedaan yang sangat kecil takhingga dengan nilai bukan nol.
e. Beberapa siswa percaya bahwa nilai deret konvergen hanyalah pendekatan, bahwa .
Pemikiran-pemikiran ini merupakan pemikiran yang salah dalam konteks bilangan real standar, walaupun mungkin beberapa pemikirin ini absah dalam sistem bilangan yang lainnya.
Kebanyakan penjelasan-penjelasan ini ditemukan oleh Profesor David Tall yang mempelajari karakteristik pengajaran dan pengenalan yang menyebabkan beberapa kesalahpahaman yang dia temui pada murid-murid universitasnya. Setelah menanyai murid-muridnya untuk mengetahui mengapa mayoritas besar pada awalnya menolak persamaan ini, ia menemukan bahwa siswa terus membayangkan 0,999… sebagai sebuah barisan bilangan yang semakin mendekati 1 dan bukanlah nilai yang pasti, karena 'anda belum menentukan seberapa banyak tempat desimal yang ada' atau 'ia merupakan bilangan desimal yang memungkinkan yang paling dekat dengan 1.
D.2. Kalkulus dalam dunia populer
Dengan berkembangnya internet, debat mengenai 0,999… telah keluar dari ruangan kelas dan merupakan hal yang umum terlihat dalam newsgroup dan forum internet, termasuk pula banyak yang sebenarnya tidak berhubungan dengan matematika. Dalam newsgroup sci.math, perdebatan mengenai 0,999… merupakan olahraga yang populer, dan ia merupakan salah satu pertanyaan yang dijawab dalam FAQ situs tersebut.[38] Bagian FAQ secara singkat mencakup pembuktian menggunakan 1⁄3, perkalian dengan 10, dan limit, serta juga menyinggung barisan Cauchy.
Kolom surat kabar The Straight Dope edisi 2003 mendiskusikan 0,999… via 1⁄3 dan limit, dan mengenai miskonspesi ini berkata,Hewan primata yang lebih rendah di antara kita masih saja menolak, mengatakan ,999~ tidaklah benar-benar mewakili sebuah bilangan, namun proses. Untuk menemukan sebuah bilangan kita harus menghentikan proses tersebut, dengan begitu hal ,999~ = 1 ini runtuh. Omong kosong.
Permasalahan 0,999… juga tampaknya merupakan topik yang populer dalam tujuh tahun pertama forum Battle.net Blizzard Entertainment, sehingga perusahaan tersebut mengeluarkan sebuah siaran pers pada April Mop tahun 2004 bahwa 0,999… adalah:
Kami sangat senang mengakhiri subjek diskusi ini untuk selamanya. Kami telah menyaksikan kepiluan dan kepedulian terhadap masalah apakah ,999~ iya atau tidak sama dengan 1, dan kami bangga bahwa pembuktian berikut akhirnya dan secara konklusif mengalamatkan isu ini untuk para pelanggan kami.
BAB III
PENUTUP
Simpulan
1. kalkulus adalah: sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika dan Teknik (Engineering).
2. Prinsip-prinsip dasar kalkulus adalah: perkembangan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil yang tak terhingga.
3. Bentuk-bentuk kalkulus adalah: Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain:
1. differensial
2. integraldan
3. diferensial terapan
Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita
4. pengembangan kalkulus adalah: Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap kalkulus
DAFTAR PUSTAKA
http://www.space.com/spacelwatch/sun_cam_animated.html
http://www.w3.org/1999/xhtml
http://www.joomla.org
http://id.wikepedia.com
http:// Indonesia.org.com
http:// id.pengetahuan.co.id
http://binasetya.co.id
http://bobbyfiles.wordpers.com
Terimakasih telah membaca Sejarah Kalkulus. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: