Judul: Peluang
Penulis: Yuda Govinda
1. Sejarah Tentang "Peluang" dan "Statistika" Diposting oleh : Administrator - Pihak Program Studi Kategori: Statistik - Dibaca: 1237 kali Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar. Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu: Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan. Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.
2. Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623- 1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya: Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6. Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali. Ø Probleme des partis (Problem of Point) Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain "fair games" sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya? Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya, Ø Dua orang melempar sebuah mata uang logam secara bergantian, setiap muncul muka orang pertama akan memperoleh 1 point, bila yang muncul adalah belakang maka pemain kedua yang mendapat 1 point. Jika orang pertama sudah mendapat 100 point maka orang tersebut akan mendapat uang $1000. Bila pemain pertama mempunyai 100-m point,dan pemain kedua mempunyai 100- n point , berapa peluang pemain pertama akan menang Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck . Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemungkinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di paris pada tahun- tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai "Gambler's ruin" dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.
3. Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu: 1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano 2. Permutasi dan Kombinasi 3. Distribusi Binomial dan Multinomial 4. Teori Peluang 5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar) Jaques (Jacob) Bernoulli adalah orang yang pertama mengenalkan hukum bilangan besar (LLN). Dia mengerjakan dan mengembangkannya selama lebih dari 20 tahun, dan mempublikasikannya pada Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) pada tahun 1713. Dia menamakannya dengan teorema keemasan yang kemudian lebih dikenal dengan teorema Bernoulli. S.D Poisson menamakannya dengan La loi des Grand Nomber (The law Large Number). Setelah Bernoulli dan Poisson mempublikasikan LLN, maka matematikawan lainnya yang mengembangkan LLN adalah Chebysev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Mereka menghasilkan apa yang kita kenal dengan Weak law Large Number dan Strong Large Number. Law Large Number (LLN) Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema pada peluang yang menggambarkan stabilitas yang lama dari suatu variable random. Jika kita diberikan suatu sample random dari variable random yang identik dan independent (iid) dengan mean dan variannya finite, maka rata-rata sample akan mendekati rata-rata populasi. Misalnya ketika kita melempar mata uang logam, maka frekuensi munculnya angka atau gambar akan mendekati 50 %, perbedaan frekuensi munculnya angka atau gambar tidak besar, contohnya kita akan mendapat munculnya angka sebanyak 520 kali dalam 1000 lemparan, dan 5096 kali dalam 10000 kali lemparan. Kemudian pada tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754 , menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, yang diantaranya memuat Ars Conjectandi. Selain memuat Ars Conjectandi, buku ini juga memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya: Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30. Selain itu karya de Moivre adalah teorema limit pusat dan distribusi normal. Abraham de Moivre adalah orang yang pertama memperkenalkan distribusi normal pada tahun 1737, kemudian
4. ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrine of Chances, yang membahas pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar. Hasil ini diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabiliteis pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan teorema De Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis percobaannya. Karena grafik probalitasnya mirip lonceng maka Jouffret pada tahun 1872 memberi nama kurva lonceng (bell curve) .Nama distribusi normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875. Sejarah dari teorema limit pusat adalah sangat menarik, teorema ini dirumuskan pertama kali oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733. Moivre menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan banyaknya muncul muka (head) pada pelantunan mata uang. Penemuan ini hampir terlupakan, sebelum akhirnya matematikawan Perancis yang bernama Pierre Simon Laplace mengenalkannya dalam tulisan Theorie Analytique des Probabilities, yang dipublikasikan pada tahun1812. Laplace memperkirakan distribusi dari orbit komet dengan distribusi binomial. Pada abad ke 19 teorema limit pusat dirumuskan secara umum dan dibuktikan oleh matematikawan Rusia yang bernama Aleksander Lyapunov. Berbeda dengan sejarah peluang yang berawal dari sebuah perjudian, statistika berawal dari kegiatan pengumpulan data yang dilakukan oleh John Graunt di Eropa pada tahun 1662, hal ini merupakan awal munculnya statistika deskriptif. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah- istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (dewan negara) dan bahasa Italia statista (negarawan atau politikus). Pada tahun 1749 Gottfried Achenwall menggunakan Statistika dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai ilmu tentang Negara (state). Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Nama dan pengertian statistik pertama kali diperkenalkan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair . Jadi statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administrasif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada tahun yang sama juga, tahun 1662 John Graunt mulai menerbitkan karya miliknya yaitu Observation on the bills of mortality. John Graunt merupakan orang pertama yang menyingkat data ke dalam tabel. Dia juga membicarakan tentang reliabilitas data. John Graunt pula orang pertama yang mendemonstrasikan secara statistik bahwa jumlah dari pria dan wanita mendekati sama dan perbandingan jenis kelamin pada saat kelahiran stabil. Dia adalah orang pertama yang membentuk tabel hidup, yang membentuk kajian tentang asuransi jiwa secara matematik. Dari data yang terkumpul tersebut juga memicu lahirnya teknik pentabelan yang dilakukan oleh Edmon Halley pada tahun 1693. Seiring dengan perkembangan tori-teori probabilitas antara tahun 1713 – 1812, Galton yang semasa hidupnya menghasilkan 340 lebih tulisan dan buku, mempelajari fenomena korelasi dan regresi terhadap nilai rata-rata dan nilai tengah dan menggunakan metode statistik untuk mempelajari perbedaan pada sifat manusia dan warisan kecerdasan dengan menggunakan daftar pertanyaan-pertanyaan. Penemuan-penemuan tersebut memicu lahirnya statistika inferensial yang diawali oleh Pearson pada tahun 1900 dengan Chi Square Test. Selain Chi Square Test, dengan menggunakan korelasi dan regresi linear, Pearson membuat model 3 dimensi sebagai model pengumpulan data dalam
5. penelitian di Departemen Sains Statistik. Selain itu juga Pearson menggunakan distribusi probabilitas sebagai dasar untuk teori statistic modern. Seorang kimiawan muda William Gosset atau yang lebih dikenal dengan panggilan "student" menggunakan ketidak cocokan penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Bersama seorang professor, ia merumuskan penemuannya pada tahun 1908. Ia menyebutnya dengan distribusi "student". Penemuannya kurang mendapat perhatian terkecuali setelah dimasukkan ke dalam buku ajar statistika modern yang pertama yang ditulis oleh Sir Ronald Fisher 20 tahun kemudian. Pada tahun 1925, Fisher mempublikasikan buku yang berjudul Statistical Methods for Research Workers. Di buku tersebut, Fisher menuliskan mengenai ANAVA. Sekitar tahun 1943-1946 penemuan-penemuan baru muncul seperti yang diperkenalkan oleh Cramer dan M. G Kendall yang mengkaji metode non parametric dengan menggunakan statistika inferensi. Satatistika non parametric muncul karena kebutuhan berdasarkan syarat yang tidak terpenuhi oleh statistika parametric. Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon menemukan satu uji, yang kemudian lebih dikenal dengan uji Wilcoxon. Pada periode tahun 1950-1980 cakupan mengenai teori peluang dan statistic meningkat dengan munculnya bidang baru seperti teori antrian. William Feller mengembangkan topik-topik statistic tingkat lanjut seperti rantai markov. Pada tahun 1950, Rudolf Carnap menerbitkan risetnya yang berjudul Logical Fondation of Probabity yang berisi derajat informasi (degree of confirmation) dan frekuensi relatif. W.Edward Deming meneliti tentang kualiti control dan banyak perusahaan mengambil metode ini. Austin Bradford Hill mengembangkan statistik pada bidang kesehatan dan epidemiologi. Bradford mempelopori trial klinik random dan mendemonstrasikan hubungan antara kebiasaan merokok dengan penyakit kangker paru-paru. Quetelet mengaplikasikan teori peluang pada sensus. Semenjak tahun 1970 keuangan menjadi bagian penting dari penerapan teori peluang. Ito mengembangkan kalkulus stokastik pada tahun 1940 dan diterapkan pada model Black-Scholes. Black dan Scholes memenangkan hadiah nobel pada bidang ekonomi. Periode tahun 1980an ditandai dengan mulainya penggunaan komputer dalam mengolah data statistik, dengan menggunakan komputer kita dapat menghemat waktu dalam mengolah data statistik, dan muncul aktifitas baru yang berkenaan dengan statistic. Tabel statistik menjadi lebih mudah dihasilkan, data yang besar dapat dengan mudah dianalisis secara mendalam dan lengkap. Pada awal abad ke 20 ketika Student(1908) menulis tentang distribusi normal dan Yule (1926) tentang korelasi, mereka menggunakan sampling dan berfaedah dalam menghasilkan tabel, dengan komputer menerapkan percobaan Montecarlo menjadi mungkin. Percobaan montecarlo adalah cara standar untuk menyelidiki tingkah laku yang finit pada prosedur statistik. Semenjak tahun 1980 metode montecarlo sudah digunakan secara luas. Walker menekankan statistic pada spikologi dan pendidikan. Sumber : http://statisticsfeunpad.wordpress.com/ Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013 1 DISTRIBUSI BINOMIAL Yehezkiel Yanu Putranto (114111326) Program Studi Teknik Informatika, STMIK Provisi Semarang Email: jc.masterboyz4ever@gmail.com Abstrak – Distribusi Binomial adalah salah satu dari beberapa distribusi probabiltias untuk menghitung peluang suatu kejadian. Distribusi Binomial menggunakan variable diskret dimana hasilnya (outcome) hanya memiliki dua kemungkinan, seperti "sukses" atau "gagal", "tinggi" atau "rendah", dsb. Kata kunci: Distribusi; Binomial; Peluang; Diskret I. PENDAHULUAN Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. II. Landasan Teori Disebut pula distribusi BERNOULLI ditemukan oleh JAMES BERNOULLI adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variable acak diskrit (variable yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baik- cacat, siang malam, dsb. Syarat-syarat Distribusi Binomial : 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat, contohnya seuatu percobaan melambungkan koin sebanyak 3 kali, bukan 3 setengah kali. 2. Sebuah percobaan mempunyai dua outcome atau hasil, contohnya sukses atau gagal, sakit atau sehat, hidup atau mati, dsb. 3. Peluang sukses sama pada setiap percobaannya. Ciri-ciri Distribusi Binomial : • Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti sukses-gagal • Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap perubahan • Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya • Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tetap Beberapa contoh kasus penerapan Distribusi Binomial ini adalah : 1. Menghitung jumlah probabilitas dalam pelemparan dadu ataupun koin. 2. Menghitung jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket. 3. Menghitung jumlah pertanyaan yang dapat anda jawab dengan benar pada sebuah soal pilihan ganda. Definisi Distribusi Peluang Binomial untuk x = 0,1,23,...,n n: banyaknya ulangan x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X p: peluang berhasil pada setiap ulangan q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan III. Pembahasan Contoh soal : 1. Probabilitas bahwa sejenis mobil tertentu yang lolos uji emisi adalah 0,7. Tentukan dimana 3 dari 5 mobil yang selanjutnya diujikan dinyatakan lolos! 2. Pada soal no 1, tentukan nilai P(X<3) dengan mengacu pada table distribusi komulatif Binomial! Jawab : 1. n-xxn x qpCx)P(X x = 3; n = 5; p = 0,7 q = 1-0,7 = 0,3 3535 3 3,07,03 - C)P(X = 5! 3! 2! . 0,343 . 0,09 = 10. 0,343 . 0,09 = 0,3087 n-xxn x qpCx)P(Xb(x;n,p)
2. Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013 2 2. Menentukan nilai P(X<3) dengan melihat pada table distribusi komulatif Binomial. x = 3; n = 5; p = 0,7 b(x;n,p) = ),;b( 7.053 = ____(lihat tabel) Gambar 1. Tabel Distribusi Komulatif Binomial Cara membacanya seperti di bawah ini : 1. Masukkan nilai n, yaitu 5……….. 2. Masukkan nilai x, yaitu 3 pada kolom n = 5……… 3. Masukkan nilai p, yaitu 0.7, cocokkan dengan kolom n = 5 dan x = 3….. 4. Maka tepat menunjuk angka 0.4718 Atau kita bisa menghitung dengan menggunakan Microsoft Excel. Pembuatan Tabel distribusi binomial dengan Excel melibatkan salah satu fungsi-fungsi Statistika dalam Excel yang dapat dipilih dengan menggunakan menu INSERT lalu klik FUNCTION atau dengan cara lansung yaitu memilih icon formula fx pada toolbars. Distribusi Binomial yang akan kita buat adalah yang untuk satu titik b(x; n, p). Fungsi yang digunakan pada function excel adalah yang BINOMDIST. Langkah Pembuatan, yaitu : Buka program EXCEL Pada lembar kerjanya isikan data berikut : Gambar 2. Data Awal Supaya seragam nilai di-set dengan 4 angka di belakang koma (Blok semua tempat nilai, lalu klik kanan, dan pilih setting number , decimal places yang sesuai) Di dalam sel pertama yaitu sel C3 1. Ketikkan tanda "=" (sama dengan) 2. Klik icon formula fx di toolbars 3. Pilih function Category : Statistical dan Function Name : BINOMDIST Gambar 3. Formula fx diToolbars Klik OK Isilah variabel-variabel dalam fungsi tersebut; Number_s (x) : B3 (sel yang memuat nilai x = 0) Trials (n) : A3 (sel yang memuat nilai n = 1) Probability_s (p) : C2 (sel yang memuat nilai p=0,2) Cumulative : 1 Klik OK
3. Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013 3 Gambar 4. Function Arguments Nilai yang akan keluar adalah 0,8. Terapkan cara tersebut untuk n, x dan p pada contoh soal. Diketahui : n = 5 x = 3 p = 0,7 Isilah variabel-variabel dalam fungsi tersebut; Number_s (x) : B6 (sel yang memuat nilai x = 3) Trials (n) : A3 (sel yang memuat nilai n = 5) Probability_s (p) : I2 = 0,7 Cumulative : 1 Klik OK Gambar 5. Hasil Perhitungan Nilai yang akan keluar adalah 0,47178 atau dibulatkan ke atas menjadi 0,4718 Rata-rata dan Varian Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah = npRata-rata ² = npqVarian n = ukuran populasi p = peluang keberhasilan setiap ulangan q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan 3. Dari soal nomor 1, hitunglah rata-rata dan variannya! Jawab : = np = 5 x 0,7 = 3,5 ² = npq = 5 x 0,7 x 0,3 = 1,05 IV. Kesimpulan Dari uraian tersebut kami menyimpulkan bahwa probabilitas sangatlah membantu dalam mengambil suatu keputusan. Misalnya menentukan peluang sukses atau tidak dalam dunia bisnis dan usaha. Distribusi Binomial ditemukan oleh James Bernoulli yang kemudian dikembangkan menjadi Distribusi Binomial, yaitu merupakan suatu percobaan dimana hanya ada 2 outcome (hasil), seperti sukses dan gagal. Rumus yang dipakai adalah . n-xxn x qpCx)P(Xb(x;n,p) = np, dan untukUntuk menentukan rata-rata adalah ² = npq.menentukan varian atau ragam adalah REFERENSI Sudaryono, M.Pd. 2011. STATISTIKA PROBABILITAS [Teori & Aplikasi]. Tangerang: Penerbit ANDI http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 10.38 WIB. http://id.scribd.com/doc/122282828/MAKALAH- ProbStat-Distribusi-Binomial diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 10.07 WIB. http://www.slideshare.net/cvrhmat/distribusi-peluang diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 11.52 WIB.
Terimakasih telah membaca Peluang. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: