Judul: Makalah kalkulus 2 (volume benda putar)
Penulis: Fitri Agustin Putrie
MAKALAH KALKULUS 2
VOLUME BENDA PUTAR
(Metode Cakram dan Metode Cincin)
DosenPembimbing : Dr.Sunismi,M.Pd
Oleh :
Syamsudin(2120720001)
Fitri Agustina(2120720009)
Jamilatul Awwalin(2120720031)
Sugi lindawati(2120720053)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS ISLAM MALANG
2013
KATA PENGANTAR
Dengan nama ALLAH Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT, karena atas rahmat dan karunia-NYA penulis dapat menyelesaikan tugas makalah Kalkulkus 2 yang berjudul "Volume Benda Putar(Metode Cakram dan Metode Cincin)".
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas dari Matakuliah Kalkulus 2 yang digunakan sebagai perhitungan nilai penulis dalam Matakuliah ini.
Selama penyusunan makalah ini, penulis telah memperoleh bantuan, bimbingan, petunjuk serta saran-saran dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengahaturkan rasa syukur dan terima kasih kepada:
Allah SWT dan Nabi Besar Muhammad SAW yang telah memberikan kesempatan bagi penulis untuk menyelesaikan makalah ini dengan keadaan sehat.
Dr.Sunismi,M.Pd, selaku guru pembimbing matakuliah Tela'ah Kurikulum Matematika SM2 yang telah banyak memberikan bantuan dan arahan kepada penulis dalam proses belajar mengajar hingga tersusunnya makalah ini.
Orang tua penulis yang telah memberi do'a dan dukungan baik moril maupun materil yang tak terhingga kepada penulis sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.
Penulis sangat menyadari bahwa penulisan ini masih belum sempurna, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun sebagai bahan masukan dan bahan pertimbangan bagi kami dalam menyelesaikan tugas-tugas berikutnya.
Malang, Maret 2013
Penulis
DAFTAR ISI
Kata Pengantar i
Daftar isiii
BAB I: PENDAHULUAN1
Latar Belakang1
Rumusan Masalah 1
Tujuan1
BAB II: PEMBAHASAN2
2.1Metode Cakram2
2.2Metode Cincin5
BAB III: PENUTUP8
3.1Kesimpulan8
DAFTAR PUSTAKA9
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Volume benda putar di hitung menggunakan integral tentu.Jika daerah
D= x,y:a≤x≤b,0≤y≤fx,fkontinu,diputar terhadap sumbu x, kita akan mengkontruksi rumus volume benda putarnya. Element luas D yang diputar terhadap sumbu x akan menghasilkan cakram.
Kita akan mempelajari bagaimana cara menghitung volume benda putar yang terjadi jika daerah D diputarmengelilingi:
Sumbu x ataugarissejajarsumbu x yang tidakmemotongdaerah D.
Garis sejajar sumbu y yang tidak memotong daerah D (khususnya bila daerah D terletak di kuadrant pertama atau kedua, daerah D dapat duputar mengelilingi sumbu y).
RumusanMasalah
Bagaimana cara menyelesaikan volume benda putar menggunakan metode cakram ?
Bagaimana cara menyelesaikan volume benda putar menggunakan metode cincin ?
Tujuan
Untuk mengetahui cara menyelesaikan volume benda putar menggunakan metode cakram.
Untuk mengetahui cara menyelesaikan volume benda putar menggunakan metode cincin.
BAB II
PEMBAHASAN
Metode Cakram
Perhatikan gambar berikut
f xi-1 xif(ci)
D0
a 0 xi-1 ci xi
Gambar 2.1.aGambar 2.1.bGambar 2.1.c
Kita membuat suatu partisi untuk selang tertutup a,b sebagai berikut :
∆ : a=x0<x1<⋯<xi-1<xi<⋯<xa=bDengan ∆xi=xi-xi-1,xi-1<ci<xi dan ∆=max1≤i≤n∆xiGambar 2.1.a memperlihatkan daerah D beserta elemen luasnya. Jika elemen ini diputar mengelilingi sumbu X, maka kita akan memperoleh cakram lingkaran berjari-jari fci dengan tebal ∆xi, yang diperlihatkan pada gambar 2.1.b. isi cakram ini adalah:
∆Vi=πfci2∆xiBila daerah D diputar mengelilingi sumbu X, maka akan terjadi suatu benda putar yang diperlihatkan pada gambar 2.1.c dengan nilai hampiran(pedekatan) untuk volumnya adalah:
V≈i=1n∆Vi=i=1nπfci2∆xiJumlah berhingga yang terakhir merupakan suatu jumlah Riemann yang mempunyai limit karena fungsi f 2 kontinu pada a,b. Akibatnya, nilai eksak isi benda putar yang diinginkan ialah :
V=limp→0i=1nπf2ci∆xi=πabf2xdxDengan demikian rumusan volume benda putar dengan metode cakram sebagai berikut :
Teorema, volume benda putar dengan metode cakram
Misalkan D adalah suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi kontinu f pada a,b, fx≥0 pada a,b, garis x = a, garis x = b dan sumbu x. Jika D di putar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi ialah :
V=limp→0i=1nπf2ci∆xi=πabf2xdxAKIBAT,
Misalkan D adalah suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi kontinu dan bernilai taknegatif x=fy pada selang c,d, garis y = c, garisy = d dan sumbuY, maka volume benda putar yang terjadi ialah
V=limp→0i=1nπf2di∆yi=πcdf2ydyContoh 2.1.1:
Buktikan bahwa volume sebuah bola berjari – jari a>0 adalah 43πa3.
Jawab :
Bola dapat di pandang sebagai benda putar bila cakram setengah lingkaran di putar terhadap garis tengahnya.Untuk mempermudahkan perhitungan, kita mempunyai daerah
D=x,y:-a≤x≤a,0≤y≤a2-x2a339471093345
a y=fx=a2-x2
a-aD
-a 0 ci a
-a
Gambar 1 Gambar 2
Pada gambar 1 yang diputar terhadap sumbu x sehingga menghasilkan bola pada
gambar 2.
Bedasarkan definisi di atas, volume bola berjari-jaria>0 adalah
V=limP→0i=1nπa2-ci22∆xiV=π-aaa2-x2 dxV=πa2x-13x3-aaV=πa3-13a3+a3-13a3= 43πa3Contoh 2.1.2:
Jika daerah D=x,y :0≤x≤2,x2≤y≤4 di putar terhadap sumbu y, tentukan volume benda putar yang terjadi.
Jawab:
Seperti pada gambar ,daerah D dapat di tulis dalam bentuk
D=x,y:0≤y≤4,0≤x≤y
y=4
4
4
Dx= x
di y=x2
0 2-2 0 2
Gambar aGambar b
Pada gambar a dan b di peroleh daerah D dan benda putarnya.
V=limP→0i=1nπd12∆yiV=limP→0i=1nπd1∆yiV=π04y dyV=12πy204=8πMetode Cincin
Misalkan D adalah daerah yang di batasi oleh grafik fungsi kontinu f dan g pada [a,b] dengan fx≥gx≥0 pada [a,b], garis x=a dan garis x=b.
Jika daerah D diputar menggelilingi sumbu X, maka akan terjadi suatu benda putar, sedangkan elemen volumnya sebagai hasil perputaran elemen luas tadi berbentuk cincin lingkaran.
Kita hitung volume benda putar tersebut dengan proses seperti pada metode cakram diperoleh :
∆Vi=πf2ci-g2ci∆xiV≈i=1n∆Vi=i=1nπf2ci-g2ci∆xiJumlah terakhir adalah suatu jumlah Riemann yang mempunyai limit karena fungsi f2-g2kontinu pada [a,b]. akibatnya, nilai eksak dari volume benda putar ini adalah :
V=limp→0i=1nπf2ci-g2ci∆xiV= abf2ci-g2cidxDengan demikian rumus volume benda putar dengan metode cincin sebagai berikut :
Teorema, volume benda putar metode cincin
Misalkan D adalah suatu daerah yang di batasi oleh grafik fungsi kontinu f dan g pada [a,b] dengan fx≥gx≥0 pada [a,b], garis x = a dan garis x = b. jika D diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah :
V=limp→0i=1nπf2ci-g2ci∆xiV= abf2ci-g2cidxAKIBAT,
Misalkan D adalah suatu daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kontini x = f(y) dan x = g(y) pada [a,b] dengan fx≥gy≥0 pada c,d, garis y = d. jika D diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah :
V= limp→0i=1nπf2d1-g2d1∆yiContoh 2.2.1
Tentukan volume benda yang dibentuk dengan memutar mengelilingi sumbu x, daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola y=x2 dan y2=8x.
Jawab :
V=limp→0π8x2-x22∆x1V= π028x-x4dxV=π8x22-x5502V= 48π5 Contoh 2.2.2
Jika daerah D= x,y:1≤x≤4,12x+1≤y≤x+2 diputar terhadap sumbu x, tentukan volume benda putar yang terjadi.
Jawab :
V=limp→0i=1nπci+22-12ci+12∆xiV= π04x+22-12ci+12dxV= π04-14x2+4x+3dxV= π-112x3+83xx+3x04V= π-513+2113+12V=28πBAB III
PENUTUP
3.1Kesimpulan
Rumus volume benda putar menggunakan metode cakram :
V=limp→0i=1nπf2ci∆xi=πabf2xdxRumus volum benda putar menggunakan metode cincin :
V= abf2ci-g2cidxDAFTAR PUSTAKA
Martono, K. 1999. Kalkulus. Bandung : Erlangga
Purcell, V.J. 2004. Kalkulus edisi kedelapan jilid 1. Jakarta : Erlangga
Sunismi,dkk. 2007. Kalkulus II. Malang : UNISMA
Terimakasih telah membaca Makalah kalkulus 2 (volume benda putar). Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: