November 28, 2016

Buku-ajar-statistika-industri1


Judul: Buku-ajar-statistika-industri1
Penulis: A. Puspitasari




Tahun Pembuatan : 2011
Dibuat oleh team dosen Statistika Industri:
Ir. Wiyono MT
Judi Alhilman Drs. MSIE
Ir. Hermita dyah MT.

FAKULTAS REKAYASA INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
KATA PENGANTAR
Bismillaahirrohmaanirrohiim,
Assalaamu'alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh
Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya yang harus diperbaiki di masa yang akan datang.
Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di mana penyusun mengajar.
Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang disampaikan oleh dosen di kelas.
Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan tinggi.
Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini.
Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi perbaikan Buku Ajar ini ke depannya.
Wassalaamu'alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh.
Bandung, Agustus 2011,

Penulis

(team dosen Statistika Industri )
SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)
Mata Kuliah: Statistika Industri (3 SKS)
Kode Mata Kuliah: IE2333

Buku Acuan:
Walpole, Ronald E., et all: "Probability & Statistics for Engineers & Scientists", Prentice Hall, 2007
Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: "Probability and Statistical Inference", Pearson Education, 2006
Ledolter. J, Hogg, Robert V. : " Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists", Pearson Prentice Hall, 2010.
Minggu
ke Pokok Bahasan
Materi
Tujuan Instruksional
Umum (TIU) Tujuan Instruksional
Khusus (TIK) Kegiatan
Evaluasi Acuan
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
1. Pendahuluan Teori Sampling Mahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:
sampling
populasi dan sample
statistik dan parameter Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 8)
2. Statistika Deskriptif Ukuran pemusatan, keragaman dan letak Mahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar Statistika Deskriptif Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:
Ukuran pemusatan
Ukuran keragaman
Ukuran letak Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 8)
3. Distribusi sampling rataan dan proporsi Distribusi sampling rataan dan proporsi dari satu populasi dan dua populasi ( Z dan t)
Mahasiswa memahami distribusi sampling rataan dan proporsi dari satu populasi dan dua populasi
Mahasiswa mampu:
menjelaskan teorema "central limit"
menghitung nilai probabilitas distribusi sampling rataan dan proporsi untuk satu dan dua populasi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 8]
4. Distribusi sampling variansi Distribusi sampling variansi ( Chi Square dan F) Mahasiswa memahami distribusi sampling Chi Square dan F
Mahasiswa mampu:
menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari satu populasi
menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 8]
5. Estimasi dan uji hipotesa rataan untuk satu dan dua populasi Pengertian dan sifat-sifat estimator
Estimasi rataan satu populasi
Estimasi rataan dua populasi
Pengertian uji hipotesa
Jenis kesalahan dalam uji hipotesis
Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya selang rataan dan pengujiannya baik satu populasi maupun dua populasi Mahasiswa mampu :
menjelaskan pegertian dan sifat-sifat umum estimator
menjelaskan metoda untuk menentukan estimator rataan populasi
menghitung nilai estimasi selang rataan suatu populasi (satu dan dua populasi).
menjelaskan kesalahan dalam uji hipotesis
melakukan uji hipotesis rataan (satu dan dua populasi). Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 9, 18]
[2, Bab 6]
[3, Bab 9]
6. Estimasi dan pengujian hipotea proporsi populasi Estimator proporsi
Pengujian dan Estimasi selang proporsi baik satu dan dua populasi Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan Pengujian hipotesa khususnya proporsi baik satu populasi maupun dua populasi Mahasiswa mampu :
menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi
menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi (satu dan dua populasi).
Menguji proporsi satu dan dua proporsi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 9]
[2, Bab 6]
7. Estimasi dan uji hipotesa variansi Estimator variansi
Estimasi selang variasi baik satu dan dua populasi
Pengujian hipotesa variansi satu dan dua populasi. Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya untuk variansi baik satu populasi maupun dua populasi Mahasiswa mampu :
menjelaskan metoda untuk menentukan estimator variansi populasi
menghitung nilai estimasi selang variasni suatu populasi (satu dan dua populasi).
Menguji variansi untuk satu dan dua populasi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 9]
[2, Bab 6]
8. UTS 9. Uji Hipotesis
Goodness of fit
Uji independesi
Mahasiswa memahami metoda uji goodness of fit dan uji independensi Mahasiswa mampu :
melakukan uji goodness of fit
melakukan uji independesi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 10]
[2, Bab 8]
10. Uji variansi satu arah
Metoda analisis varian
CRD (complety randomize design)
BRD(Bock Random design) Mahasiswa memahami metoda uji variansi satu arah Mahasiswa mampu :
Menjelaskan metoda uji variansi
melakukan uji variansi satu arah
Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 13]
[2, Bab 10]
11. Regresi sederhana
Regresi sederhana
Pengujian regresi
Mahasiswa memahami metoda regresi sederhana Mahasiswa mampu :
melakukan perhitungan regresi sederhana dan pengujiannya.
Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 11]
12. Korelasi Korelasi
Pengujian korelasi
Mahasiswa memahami konsep korelsi dan pengujiannya. Mahasiswa mampu :
Menghitung nilai korelasi dan pengujiannya.
Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 11]
[3, Bab 14, 15]
13. Uji Hipotesis non parametrik
Uji tanda
Run test
Mahasiswa memahami metoda uji tanda dan run test Mahasiswa mampu :
melakukan uji tanda
melakukan run test Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 16]
[2, Bab 8]
14. Uji Hipotesis non parametrik
Uji Wilcoxon
Uji Kruskal Wallis
Mahasiswa memahami metoda uji Wilcoxon dan Uji Kruskal Wallis Mahasiswa mampu :
melakukan uji Wilcoxon
melakukan uji Kruskal Wallis Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab [1, Bab 16]
[2, Bab 8]
15. Tugas besar
Persentasi tugas Mahasiswa mampu mengaplikasikan statistika ke dunia nyata Mahasiswa mampu mengaplikasikan dan merepresantasikan materi Tatap muka
Diskusi Tanya Jawab 16. UAS
Penilaian:
UTS : 30%
UAS : 30%
QUIS: 25%
TUGAS : 15%
DAFTAR ISI
TOC \o "1-3" \h \z \u BAB ITEORI SAMPLING PAGEREF _Toc278540313 \h 1I.1PENGERTIAN DASAR PAGEREF _Toc278540314 \h 1I.1.1Sampling PAGEREF _Toc278540315 \h 1I.1.2Sample (n) : PAGEREF _Toc278540316 \h 1I.1.3Elemen / unsur PAGEREF _Toc278540317 \h 2I.1.4Populasi (N) PAGEREF _Toc278540318 \h 2I.1.5Kerangka sampel PAGEREF _Toc278540319 \h 2I.2SYARAT SAMPEL YANG BAIK PAGEREF _Toc278540320 \h 2I.3UKURAN SAMPEL PAGEREF _Toc278540321 \h 5I.4TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL PAGEREF _Toc278540322 \h 7I.4.1Sampling dengan Pengembalian PAGEREF _Toc278540323 \h 7I.4.2Sampling tanpa Pengembalian : PAGEREF _Toc278540324 \h 8I.4.3Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya PAGEREF _Toc278540325 \h 8I.5TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL PAGEREF _Toc278540326 \h 14I.5.1Penyajian Data PAGEREF _Toc278540327 \h 14I.5.2Tabel Distribusi frekuensi PAGEREF _Toc278540328 \h 14I.5.3Distribusi Frekuensi Relatif : PAGEREF _Toc278540329 \h 18I.5.4Penyajian dalam Bentuk Grafik PAGEREF _Toc278540330 \h 19BAB IIDISTRIBUSI SAMPLING PAGEREF _Toc278540331 \h 24II.1DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z PAGEREF _Toc278540332 \h 24II.2DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T PAGEREF _Toc278540333 \h 28II.3DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI PAGEREF _Toc278540334 \h 31II.4DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI PAGEREF _Toc278540335 \h 32II.5DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI PAGEREF _Toc278540336 \h 34BAB IIITEORI ESTIMASI PAGEREF _Toc278540337 \h 36III.1ESTIMASI RATAAN PAGEREF _Toc278540338 \h 36III.1.1Selang kepercayaan mean sampel PAGEREF _Toc278540339 \h 36III.1.2Selang kepercayaan untuk µ; σ diketahui PAGEREF _Toc278540340 \h 36III.1.3Kesalahan estimasi PAGEREF _Toc278540341 \h 37III.1.4Sampel sedikit PAGEREF _Toc278540342 \h 38III.1.5Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. PAGEREF _Toc278540343 \h 39III.2ESTIMASI PROPORSI PAGEREF _Toc278540344 \h 40III.2.1Estimasi Selisih Dua Proporsi PAGEREF _Toc278540345 \h 45III.3ESTIMASI VARIANSI PAGEREF _Toc278540346 \h 48III.3.1Estimasi Nisbah Dua Variansi PAGEREF _Toc278540347 \h 50BAB IVUJI HIPOTESIS PAGEREF _Toc278540348 \h 54IV.1HIPOTESIS STATISTIK PAGEREF _Toc278540349 \h 54IV.2ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS PAGEREF _Toc278540350 \h 55IV.2.1Uji Ekasisi PAGEREF _Toc278540351 \h 55IV.2.2Uji Dwisisi PAGEREF _Toc278540352 \h 57IV.3KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS PAGEREF _Toc278540353 \h 57IV.4LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS PAGEREF _Toc278540354 \h 60IV.5UJI MENYANGKUT RATAAN PAGEREF _Toc278540355 \h 60IV.6UJI MENYANGKUT PROPORSI PAGEREF _Toc278540356 \h 63IV.7UJI MENYANGKUT VARIANSI PAGEREF _Toc278540357 \h 66BAB VUJI CHI-SQUARE PAGEREF _Toc278540358 \h 72V.1GOODNESS OF FIT TEST PAGEREF _Toc278540359 \h 72V.2INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN) PAGEREF _Toc278540360 \h 76BAB VIREGRESI DAN KORELASI PAGEREF _Toc278540361 \h 81VI.1REGRESI PAGEREF _Toc278540362 \h 81VI.1.1Regresi Linier Sederhana PAGEREF _Toc278540363 \h 81VI.1.2Regresi Linier Berganda PAGEREF _Toc278540364 \h 87VI.2KORELASI PAGEREF _Toc278540365 \h 89VI.2.1Definisi Korelasi PAGEREF _Toc278540366 \h 89VI.2.2Koefisien Korelasi PAGEREF _Toc278540367 \h 89VI.2.3Teknik Korelasi PAGEREF _Toc278540368 \h 90VI.2.4Uji Hipotesis Korelasi PAGEREF _Toc278540369 \h 95BAB VIIANOVA PAGEREF _Toc278540370 \h 99VII.1ONE WAY ANOVA PAGEREF _Toc278540371 \h 99VII.2TWO WAY ANOVA PAGEREF _Toc278540372 \h 102VII.2.1Two Way Anova dengan n replikasi PAGEREF _Toc278540373 \h 103
BAB I. TEORI SAMPLING
PENDAHULUAN


Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:
Pengertian dasar teori sampling
Syarat sampel yang baik
Ukuran sampel
Teknik-teknik pengambilan sampel
Teknik penyajian data sampel

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS


Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling
Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik
Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik.
Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample
Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup

RINGKASAN MATERI


PENGERTIAN DASARSamplingProses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung.
Sample (n) :Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya, seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen atau unsur tadi.

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia, membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (Uma Sekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari satu pohon jeruk
Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik sampling atau teknik pengambilan sampel .
Elemen / unsurElemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian. Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500 elemen penelitian.
Populasi (N)
Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK dengan karektaristik indeks antara 0-4.
Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti adalah laporan keuangan perusahaan "X", maka populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan "X" tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen "A" maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen "A".
Kerangka sampel
Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi, sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.
SYARAT SAMPEL YANG BAIK Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda). Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.
Pertama : Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan "bias" (kekeliruan) dalam sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya "bias" atau kekeliruan adalah populasi.
Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa "there is no systematic variance" yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan, lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil secara sistematis
Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976). Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.
Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih oleh masyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh : (1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976).
Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi. Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk "X". Namun berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk "X" per harinya rata-rata 58 unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat presisi sampel tersebut.
Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang dikenal dengan nama "sampling error" Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error). Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah ( Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah. Katakanlah dari 50 menjadi 75.
Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti yang diutarakan oleh Kerlinger
besar

kesalahan

kecil

kecil
besar
Besarnya sampel

UKURAN SAMPELPertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah "berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?", agar hasil (berupa data perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan (statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95 disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90.
Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnya sedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat.
Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989). Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable).
Misalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 400 buah. Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30, maka sampelnya harus 100%.
Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi, penelitian korelasional, paling sedikit 30 elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, 30 elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan Diehl, 1992).
Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah sampel sebagai berikut :
Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen
Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb), jumlah minimum subsampel harus 30
Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis.
Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen.
Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)
Tabel STYLEREF 1 \s I. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel
Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n)
10 10 220 140 1200 291
15 14 230 144 1300 297
20 19 240 148 1400 302
25 24 250 152 1500 306
30 28 260 155 1600 310
35 32 270 159 1700 313
40 36 280 162 1800 317
45 40 290 165 1900 320
50 44 300 169 2000 322
55 48 320 175 2200 327
60 52 340 181 2400 331
65 56 360 186 2600 335
70 59 380 191 2800 338
75 63 400 196 3000 341
80 66 420 201 3500 346
85 70 440 205 4000 351
90 73 460 210 4500 354
95 76 480 214 5000 357
100 80 500 217 6000 361
110 86 550 226 7000 364
120 92 600 234 8000 367
130 97 650 242 9000 368
140 103 700 248 10000 370
150 108 750 254 15000 375
160 113 800 260 20000 377
170 118 850 265 30000 379
180 123 900 269 40000 380
190 127 950 274 50000 381
200 132 1000 278 75000 382
210 136 1100 285 1000000 384
Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic Statistics for Social Research, Second Edition)
TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPELAda beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.

Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih
Sampling dengan Pengembalian
Satuan sampling yang terpilih, "dikembalikan" lagi ke dalam populasi (sebelum dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang berkatian dengan pengambilan sampel.
Sampling tanpa Pengembalian :Satuan sampling yang telah terpilih, "tidak dikembalikan" lagi ke dalam populasi. Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa pengembalian adalah: nCr = n!/(r!(n-r)!)
Tipe Sampling menurut Peluang PemilihannyaRandom sampling
Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel.
Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama "sampling frame". Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi "A", maka peneliti harus bisa memiliki daftar semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi "A " tersebut selengkap mungkin. Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya.. Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar seluruh rumah tangga kota tersebut. Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan, Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda satu sama lainnya.
Di samping sampling frame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu konsep "acak" atau "random" itu sendiri.
Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana
Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Selama perbedaan gender, status kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana. Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :
Susun "sampling frame"
Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil
Tentukan alat pemilihan sampel
Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi
Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan

Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya :
Siapkan "sampling frame"
Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki
Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum
Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.
Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15 manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada 100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 = 9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer.
Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambil semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II) ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.

Cluster Sampling atau Sampel Gugus
Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen. Misalnya, dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis kelaminnya, beda tingkat pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Jika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau dua departemen saja. Prosedur :
Susun sampling frame berdasarkan gugus
Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel
Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak
Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample
Systematic Sampling atau Sampel Sistematis
Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan. Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang "keberapa". Misalnya, setiap unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal "keberapa"-nya satu unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan seterusnya adalah 25. Prosedurnya :
Susun sampling frame
Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil
Tentukan K (kelas interval)
Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau random – biasanya melalui cara undian saja.
Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.
Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya
Area Sampling atau Sampel Wilayah
Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat. Prosedurnya :
Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) – Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.
Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?, Kecamatan?, Desa?)
Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.
Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.
Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya, bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah.
Non random sampling atau nonprobability sampling
Seperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.
Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan.
Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental sampling – tidak disengaja – atau juga captive sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.
Purposive Sampling
Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu. Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya. Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.
Judgment Sampling
Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi. Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai "information rich".
Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory, 1992).
Quota Sampling
Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja. Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.
Snowball Sampling – Sampel Bola Salju
Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).
Haphazard Sampling
Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.

TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPELPenyajian DataPenyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Data-data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh dengan berbagai cara, antara lain:
Wawancara
Pengamatan
Surat menyurat
Kuisioner
Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data) dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lain-lain.
Tabel Distribusi frekuensi
Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data berkelompok.
Tabel STYLEREF 1 \s I. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 2 Contoh tabel distribusi frekuensi
Kelas interval Frekuensi
3 – 5 2
6 – 8 5
9 – 11 7
12 – 14 1
15 - 17 1
Langkah-langkah distribusi frekuensi:
Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya.
Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu
k = 1 + 3,3 log N

N : banyaknya pengamatan
Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15
Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :
KI= Xmaks- Xmink= jangkauankKI sebaiknya kelipatan 5.
Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval kelas.
Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas).
Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x satuan pengukuran terkecil dari data).
Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :
Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval kelas
Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval kelas
Contoh Batas Kelas :

Batas kelas bawahBatas kelas atas
Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di tengah-tengah pada setiap interval kelas.
Contoh nilai tengah:
38195251156335Nilai tengah Kelas ke 1= [ 215 + 2122] / 2= 1168.5
Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua.
Contoh nilai tepi kelas :
Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F) Nilai Tepi Kelas
1 215 2122 14 214.5
2 2123 4030 3 2122.5
3 4031 5938 1 4030.5
4 5939 7846 1 5938.5
5 7847 9754 1 7846.5
9754.5
172085162560Nilai tepi kelas ke 2 = [ 2122 +2123 ] / 2= 2122,5
Contoh 1 :

N = 20
k = 1 + 3,322 Log 20
k = 1 + 3,322 (1,301)
k = 1 + 4,322
k = 5,322
Nilai tertinggi = 9750
Nilai terendah = 215
Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907
Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas atau kategori
2123
2122
Nilai terendahKelas ke 2= 2122 + 1= 2123Nilai tertinggi := 215 + 1907= 2122
Lakukan penturusan atau tabulasi data
Kelas Interval Frekuensi Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 IIIII IIIII IIII 14
2 2123 4030 III 3
3 4031 5938 I 1
4 5939 7846 I 1
5 7847 9754 I 1
Distribusi Frekuensi Relatif :Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.
Contoh Distribusi Frekuensi Relatif : Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F) Frekuensi relatif (%)
1 215 2122 14 70
2 2123 4030 3 15
3 4031 5938 1 5
4 5939 7846 1 5
5 7847 9754 1 5
Frekuensi relatif (%)= [ 14 / 20 ] x 100 %= 70 %
Penyajian dalam Bentuk GrafikManusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya.
Grafik Histogram
Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y).
Contoh Histogram:
Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 14
2 2123 4030 3
3 4031 5938 1
4 5939 7846 1
5 7847 9754 1
Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 2285751163195 Contoh Histogram
Grafik Polygon
Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik–titik yang merupakan koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut.
Contoh Grafik Polygon:
Kelas Nilai Jumlah
  Tengah Frekuensi (F)
1 1168.5 14
2 3076.5 3
3 4984.5 1
4 6892.5 1
5 8800.5 1
400050219075Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 3 Contoh Grafik Polygon
Kurva Ogif
Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif.
Contoh kurva ogif:
Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Frekuensi kumulatif
Bawah Atas Kurang dari Lebih dari
1 215 2122 214.5 0 20
2 2123 4030 2122.5 14 6
3 4031 5938 4030.5 17 3
4 5939 7846 5938.5 18 2
5 7847 9754 7846.5 19 1
9754.5 20 0
Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 4676275100330 Contoh kurva ogif
Box plot
Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3, dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :
25% 25% 25% 25%
Xmin K1 K2 K3 Xmax
Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai.
Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan :
Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median
Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak antara K1 dan K3
Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif (menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke K3.
Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilai-nilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung menggunakan rumus :

Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat (∗), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο).
Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 5 contoh boxplot

Diagram dahan daun
Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahan-daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data.
Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun. Angka yang menjadi daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir.
Gambar STYLEREF 1 \s I. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 6 contoh diagram batang daun
Stem-and-leaf of C1 N = 30
Leaf Unit = 1.0
3 0 333
5 0 45
7066
11 0 8899
(6) 1 000011
13 1 2223
9 1 55
7 1 6
6 1 88
4 2 01
2 2
2 2 44

SOAL – SOAL SAMPLING
Jelaskan apa yang dimaksud dengan:
Sampling seadanya
Sampling purposif
Sampling pertimbangan
Sampling kuota
Sampling nonpeluang
Sampling peluang
Sampling acak
Sampling proporsional
Sampling petala
Sampling area
Sampling sistematik
Sampling ganda
Sampling tunggal
Sampling multiple
Sampling sekuensial
Sampling klaster
Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsampling!
Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara:
Pengembalian
Tanpa pengembalian
Ada berapa buah sampel yang mungkin?
Diberikan sebuah populasi dengan data:
23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24
Diambil sampel berukuran dua.
Ada berapa buah sampel semuanya?
Berikan semua sampel yang mungkin!
Tentukan rata-rata tiap sampel!
Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya!
Hitunglah rata-rata populasi!
Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak?
PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yang relatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. Apabila PT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke-1.
PT Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya. Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaan masing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.
Kelompok/Strata Jumlah Perusahaan
Tenaga kerja 1-5 5
Tenaga kerja 6-10 15
Tenaga kerja 11-15 20
Tenaga kerja 16-20 5
Tenaga kerja 21-25 10
Tenaga kerja >25 5
Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7.
Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian,
Carilah:
Rata2 dan simpangan baku populasi
Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya.
Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?
Diketahui data sbb:
Umur: 293337383940424345475059
Frek.: 1 13423223111
Buatlah diagram kotak garisnya /box plot

DISTRIBUSI SAMPLINGPENDAHULUAN


Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:
Distribusi sampling rataan Z
Distribusi sampling rataan T
Distribusi sampling proporsi
Distribusi sampling proporsi 2 populasi
Distribusi sampling variansi

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan macam-macam distribusi sampling.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS


Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling
Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup
RINGKASAN MATERI


Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering menggunakan sampel dari populasi tersebut.
Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan 250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh x = 246 ml, dan berdasarkan hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-rata isi μ = 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai x yang didapat nantinya berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu statistik disebut dengan distribusi sampel.
DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN ZX=X1+X2+…+X3nMisalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan μ dan variansi σ2. Tiap pengamatan Xi, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa
Berdistribusi normal dengan rataan
μX=μ+μ+…+μn= μ
Dan variansi
σ2X=σ2+σ2+…+σ2n2= σ2n







Z=X- μσ/nBila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak, maka distribusi sampel X masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan μ dan variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema Limit Pusat, yaitu bila X rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan rataan μ dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi
bila n ∞, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)
Contoh :
Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.
Hampiran normal untuk X umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n < 30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila populasinya normal, maka distribusi sampel X akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran sampelnya tidak menjadi masalah.
Jawab :
Secara hampiran, distribusi sampel X akan normal dengan μX = 800 dan σX = 40 / 16 = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar 1.1. Nilai z yang berpadanan dengan x = 775 adalah
z=775-80010= -2,5Sehingga
P(X < 775) = P(Z < -2,5)
= 0,0062

Gambar 1.1
σX=10Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan μ1 dan variansi σ21, dan yang kedua dengan rataan μ2 dan variansi σ22. Misalkanlah statistik X1 menyatakan rataan sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik X2 menyatakan rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, X1-X2, berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi :
μX1- X2=μ1-μ2
σ2X1- X2=σ21n1+σ22n2
Sehingga
Z=X1-X2-μ1-μ2σ12/ n1+σ22/ n2
Secara hampiran merupakan peubah normal baku.
Contoh :
Suatu sampel berukuran n1 = 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi normal dengan rataan μ1 = 50 dan variansi σ21 = 9, dan rataan sampel x1 dihitung. Sampel acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal, dengan rataan μ2 = 40 dan variansi σ21 = 4, dan rataan sampel x2 dihitung. Cari nilai P(X1-X2 < 8,2)!
Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi X1-X2 sangat baik tidak tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua populasi normal, maka X1-X2 berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.


Jawab :
Dari distribusi sampel X1-X2 kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :
Rataan : μX1- X2=μ1-μ2=50-40=10Variansi : σ2X1- X2=σ21n1+σ22n2=95+44=2,8Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai x1-x2 = 8,2, diperoleh
z=8,2-102,8= -1,08Sehingga
P(X1-X2 < 8,2)= P(Z < -1,08)
= 0,1401
Gambar 1.2
DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN tUntuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan menghitung nilai S2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S2 akan berubah cukup besar dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak (X- μσ/n) menyimpang cukup jauh dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang dinamakan distribusi t, dengan
t=X-μS/n
σX1-X2=1,673Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
1854200192405
T=ZV/v
Diberikan oleh
h(t)=Г[v+1/2]Гv+2πv1+t2v-(v+1)/2, -∞<t< ∞
Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.
Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal dari populasi normal. Selanjutnya :
T=(X-μ)/(σ/n)S2/σ2= ZV/(n-1) ,
Dengan
Z=X- μσ/n
Berdistribusi normal baku, dan
V=(n-1)S2σ2
Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa X dan S2 bebas, oleh karena itu Z dan V juga bebas. Sekarang akan kita turunkan distribusi T.
V = ∞
Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah, X dan S2, sedangkan nilai Z hanya tergantung pada perubahan X dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel, n ∞, kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan hubungan antara distribusi normal baku (v = ∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2 dan 5.
V = 5
125730106045
V = 2

Gambar 1.3 Kurva distribusi t
Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t1-∝=-t∝, yaitu nilai t yang luas sebelah kanannya 1-∝, atau luas sebelah kirinya ∝, sama dengan minus nilai t yang luas bagian kanannya ∝-66675165100
t∝t1-∝=-t∝
Contoh :
Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung terletak antara -t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik tadi akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan X= 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi waktu menyala ,secara hampiran,normal.
Jawab :
Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila memang μ = 500, maka :
t=518-50040/25= 2,25Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila μ > 500, nilai t hasil perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar. Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada yang didudaganya semula.

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSIBila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :
Rata-rata
μp= μp=XN Simpangan baku jika populasi terbatas atau sampling tanpa pengembalian atau n/N >5% :
σp= p1-pn . N-nN-1Simpangan baku jika populasi tidak terbatas, atau sampling dengan pengembalian atau n/N < 5%
σp= p1-pn . Variabel random
Z= p-pσpContoh :
Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :
Tentukan rata-rata dan simpangan baku sampel dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A!
Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentuka probabilitasnya!
Jawab:
Rata-rata = 0,1
σp= p1-pn =0,1 .0,9100=0,03Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15
Z= p-pσp= 0,15-0,10,03=1,67P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475
DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASITerdiri dari 2 populasi.
Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsi X1/ N1Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2/ N2 Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akan mengandung jenis x1 dengan proposi x1 / n1. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak berukuran n2 maka sampel ini juga akan mengandung jenis x2 dengan proporsi x2/ n2Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.
Distribusinya mempunyai :
Rata-rata
μp1-p2= p1- p2Simpangan baku
σp1-p2 = p11-p1n1+ p21-p2n2 . N1+N2- n1+n2N1-N2-1Variabe random
Z= (p1-p2 )-(p1-p2)σp1-p2 Contoh :
5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2% lebih banyak disbanding gudang timur!
Jawab :
Gudang barat : n1=300, p1=0,1Gudang timur: n2=200, p2=0,05p1 = proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel
p2 = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel
σp1-p2 = p11-p1n1+ p21-p2n2 =0,10,9300+ 0,050,95200 =0,023Z= (p1-p2 )-(p1-p2)σp1-p2 = (p1-p2 )-(0,1-0,05)0,023Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka (p1-p2 ) > 0,02 sehingga diperoleh :
z=0,02-0,050,023= -1,3Jadi probabilitasnya adalah P (p1-p2 >0,02) = P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 = 90,32 %
DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSIBila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ2, dan variansi sampel s2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ2. Karena itu statistic S2 disebut penaksir σ2.
Taksiran selang untuk σ2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.
X2= (n-1)S2σ2 Contoh
Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?
Jawab
Mula-mula dihitung variansi sampel :
s2= 548,26- (15)25(4) = 0,815
Kemudian
X2= 4(0,815)1=3,26Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai X2 dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan menggunakan σ2 = 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun
SOAL – SOAL
1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengembalian diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk :
rata-rata ke 1000 rata-rata?
varians ke 1000 rata-rata?
rata-rata ke 1000 varians?
2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm.
Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel?
Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa :
Paling sedikit 155 cm
Paling besar 175 cm
Antara 158 cm dan 172 cm
Kurang dari 160 cm
3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata :
antara 62 dan 72
paling sedikit 72,5
kurang dari 67
Diberikan dua buah populasi dengan:
data populasi I: 3,2,3,5,4,8.
data populasi II: 10,12,15,10.
Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu :
Hitung rata-rata kedua populasi.
Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini µx dan µy.
Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan populasi II. Apa yang nampak?
Bagaimana untuk µx + µy ?
Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B.
Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?
Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004.
Perusahaan Harga persaham
PT Rajawali 275
PT Bukaka Plantindo 280
PT London 500
PT Inti Boga 350
PT Surya Pangan Nusantara 575
Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?
Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003
Perusahaan Hasil Investasi (%/tahun)
Nikko 17
Investa 15
GTF Tunai 10
Dana Investa 11
Phinis Dana Kas 14
Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.
PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya?
PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan rata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai?
Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi σ2 = 6, akan mempunyai variansi s2
Lebih besar dari 9,1;
Antara 3,462 dan 10,745
Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.
Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai.
Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai –t berada antara -t0,025 dan t0,025 maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai x = 27,5 jam dengan simpangan baku s = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.
Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg?
Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka:
Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000?
Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000?
Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak?
Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baik:
Antara 90% dan 98%?
Paling sedikit 97,5%?
A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan:
Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A?
Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A?
Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ.
Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :
x=0,1,2,3
= 0 untuk lainnya
Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X
Misalkan x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ x ≤ 2/3)
Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y≤1,5)Diketahui x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ x ≤ 4)
Hitunglah P(39,75 ≤ x ≤ 41,25) dimana x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. σ2=8
Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf
f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2
; 0 untuk yang lainnya
Hitung µ dan σ2Hitung P(2/3 ≤ x ≤5/6)

TEORI ESTIMASIPENDAHULUAN


Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan besaran-besaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample.
Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi:
Teori estimasi berdasarkan rataan
Teori estimasi berdasarkan proporsi
Terori estimasi berdasarkan variansi
Pokok bahasan pada materi "teori estimasi" dititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi.

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS


Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan, proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi.
Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup

RINGKASAN MATERI





ESTIMASI RATAANSelang kepercayaan mean sampel
Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik X. Sebaran statistik ini berpusat pada µ dan variansinya lebih kecil daripada estimator lain.
σx 2=σ2n , sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang semakin kecil.
Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya cukup besar, dapat diturunkan sbb :

Dari gambar di atas
P -zα2< Z< zα2 = 1 - α, dimana Z= x- µσ/nJadi P( -zα2< X- μσn< zα2 ) atau P( X -zα2σn < μ< X+zα2 σn)Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui dan mean x yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.
X- zα/2 σn<μ< X+ zα/2 σnSelang kepercayaan untuk µ; σ diketahuiBila x rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah
x- zα/2 σn<μ< x+ zα/2 σnzα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan 0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya.
Jawab : titik estimasi adalah x = 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu selang kepercayaan 95% adalah
2.6 – (1.96) (0.3)/36) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/36) atau
2.50 < µ < 2.70
Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang kepercayaan ini adalah :
2.6 – (2.575) (0.3/36) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/36) atau
2.47 < µ < 2.73
Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya.
Kesalahan estimasi
Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat selang, x mengestimasi µ tanpa kesalahan.
Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara x dengan µ, dan kita percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari zα/2(σ/n).

Teorema : jika x digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/n).
Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel x = 2.6 berbeda sebesar 0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13.
Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian hingga zα/2(σ/n) = e.
Teorema : jika x digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah
n=(z∝2 σe )2
Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk melakukan estimasi variansi tersebut.

Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05?
Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh zα/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas
n = (z∝2 σe )2 = [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3
dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan hasil estimasi x yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.
Sampel sedikitBagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini
T = x-μSnProsedur lain sama dengan yang sebelumnya.

Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir
P(-tα/2<T< tα/2) = 1 – α
Di mana tα/2 adalah nilai t untuk derajat bebas n-1. Luas sebelah kanan nilai ini adalah α/2, dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari -tα/2 juga α/2. Substitusi untuk T menghasilkan
P(-tα/2<( X-μSn )< tα/2) = 1 – α
Maka diperoleh P( X-t∝2Sn<μ<X+t∝2Sn) = 1 – α
Dengan demikian, untuk n sampel, mean x dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 – α)100% diberikan oleh X-t∝2Sn<μ<X+t∝2SnSelang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% untuk µ adalah:
x-t∝2Sn<μ<x+t∝2SnDimana x dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan t∝2 adalah nilai distribusi-t dengan derajat bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainer-kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.
Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel x=10.0 dan simpangan baku sampel s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu, selang kepercayaan 95% dari μ adalah
10.0 – (2.447) (0.283 / 7)< μ < 10.0 + (2.447) (0.283 / 7), atau
9.74< μ <10.26
Tambahan soal latihan estimasi rataan
Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter. Hitunglah selang kepercayaan untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan mesin tersebut bila:
sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.
sampel acak 9 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.
Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.
ESTIMASI PROPORSIPenaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic P=Xn dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi sampel p= xn akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.
Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel P. Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka p hanyalah rataan sampel dari n nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi P hampir normal dengan rataan
μp=EP= E Xn= npn=p
Dan variansi
σp=σ2xn=σ2xn2= npqn2=pqn
Dengan demikian dapat dituliskan
P(-zα2<Z< zα2)=1- αDengan
Z=P-ppqndan zα2 menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α2. Gantikan Z dalam ketidaksamaan
P-zα2<P- ppqn<zα2=1-α
Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan pqn, kemudian kurangi dengan P dan kalikan dengan -1, diperoleh
PP-zα2pqn<p<P+zα2pqn=1-α
Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar, galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik p=xn. Dalam hal demukian, maka dapat ditulis
PP-zα2pqn<p<P+zα2pqn=1-α
Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel p= xn, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p dapat diperoleh.
Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu np dan nq lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1
Selang kepercayaan sampel-besar untuk p
Bila P menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan
q=1-p, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk parameter binomial p adalah
P-zα2pqn < p < P+zα2pqndengan zα2menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh 1
Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton, Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut.
Jawab
Taksiran titik untuk p ialah p=340500=0,68. Dari table diperoleh z0,025=1,96. Jadi, selang kepercayaan 95% untuk p adalah
0,68-1,960,68(0,32)500<p<0,68+1,960,68(0,32)500 Yang, bila disederhanakan akan menjadi
0,64 < p < 0,72
Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1-α) 100% maka p menaksir p tanpa galat. Tapi, biasanya, p tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset
(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara p dan p, dan dengan selang kepercayaan (1- α) 100% selisih ini akan lebih kecil dari zα2 p q n.
Teorema 1
Bila p dipakai sebagai taksiran p, galatnya akan lebih kecil daripada zα2pqn
dengan kepercayaan (1-α) 100%.
Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel p=0,68 berbeda dengan proporsi p yang sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p tidak melebihi suatu besaran g. Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar
zα2pqn=g
Teorema 2
Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan (1-α) 100% galat
akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar n=z2α2pqg2Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n digunakan p, padahal p dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.
Contoh 2
Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02 dengan kepercayaan 95%?
Jawab :
Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran p=0,68. Maka menurut teorema 3
n=1,9620,68(0,32)(0,02)2=2090Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%.
Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n dapat diperoleh dengan menyadari bahwa pq= p 1-p≤ 14, karena p terletak antara 0 dan 1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi
p1-p= -p2-p= 14-p2-p+14= 14- p2-122,
yang selalu lebih kecil dari 14 kecuali bila p = 12 yang mengakibatkan pq= 14. Jadi, bila dimasukkan p= 12 pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup berbeda dengan 12, maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf kepercayaan yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan meningkat.
Teorema 3
Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan paling sedikit (1-α) 100% galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel n=z2α24g2
Contoh 3
Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02?
Jawab
Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih ukuran sampe ln=(1,96)24 0,022=2401Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran) mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap mempertahankan taraf ketelitian semula.
MENAKSIR SELISIH RATA-RATA.
Dalam hal ini kita berhubungan dengan dua buah populasi yang selisih rata-ratanya
( μ1 – μ2 ) akan kita taksir.
Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika σ1 dan σ2 diketahui:
Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rata-rata sampel acak berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan simpangan baku σ1 dan σ2 diketahui.:
Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika simpangan baku σ1 dan σ2 tidak diketahui tetapi σ1 = σ2 :

dimana Sp= dugaan simpangan baku populasi

dengan dk = ν = n1 + n2 -2
jika simpangan baku σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 ≠ σ2 :

dengan dk =
Contoh:
Masa pakai barang A yang dihasilkan oleh dua pengusaha akan diteliti. Dari barang yang dihasilkan oleh pengusaha 1 diteliti 150 buah dan dicatat masa pakainya. Rata-ratanya 1400 jam dean simpangan baku 80 jam.Barang yang dihasilkan pengusaha II diteliti sebanyak 100 buah. Ternyata rata-ratanya = 1300 jam dan S = 70 jam. Carilah interval taksiran selisih rata-ratanya. dengan kepercayaan 95%.
Jawab:
Asumsi σ1 = σ2

sehingga sp= 74,5
dari daftar t dengan kepercayaan 95% dan V= 248 didapat t0,05(248)= 1,96

Ditaksir bahwa selisih rata-rata masa pakai barang A yang dihasilkan oleh kedua pengusaha terletak antara 84,2 s/d 115,8 jam dgan keyakinan 95%.
Estimasi Selisih Dua ProporsiPandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsi yang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2 dari dua populasi binomial dengan rataan n1p1 dan n2p2 serta variansi n1p1q1 dan n2p2q2, kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap sampel, dan tentukanlah proporsi p1=x1n1 dan p2=x2n2 . Penaksir titik untuk selisih dua proporsi p1- p2 adalah statistik P1- P2 . Jadi, selisih kedua proporsi sampel, p1- p2, akan digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .
Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel P1- P2. Dari materi menaksir proporsi diketahui P1dan P2masing-masing berdistribusi hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah P1 dan P2 akan bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat disimpulkan bahwa
P1- P2berdistribusi hampir normal dengan rataan
μp1-p2 = p1 – p2
dan variansi
σ2p1-p2 =p1q1n1+p2q2n2
Dengan demikian dapat ditulis
P-zα2<Z< zα2= 1- αDengan
z=P1-P2- (p1-p2)p1q1n1+p2q2n2 Dan zα2 nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α2. Ganti Z pada rumus di atas, maka dapat ditulis
P-zα2< P1-P2- p1-p2p1q1n1+p2q2n2 <zα2=1-αSetelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah tanda akar dengan taksirannya p1=x1n1 , p2=x2n2, q1=1-p1 dan q2=1-p2, asal saja n1p1, n1q1, n2p2 dan n2q2 semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p1-p2.
Selang kepercayaan untuk p1-p2Bila p1 dan p2 menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran n1 dan n2, q1=1-p1 dan q2=1-p2, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk selisih kedua parameter binomial, p1-p2, adalah
(p1-p2)-zα2p1q1n1+p2q2n2<p1-p2<(p1-p2)+zα2p1q1n1+p2q2n2Bila zα2 nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya α2Contoh 4
Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat dalam cara lama dan baru. Jadi p1=751500=0,05 dan p2=80200=0,04, dan taksiran titik untuk p1- p2 ialah p1- p2=0,05-0,04=0,01Dari table diperoleh z0,05 =1,645. Jadi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas, maka diperoleh kepercayaan 90%,
0,01-1,6450,050,951500+0,04(0,96)2000<p1-p2<0,01+1,6450,050,951500+0,04(0,96)2000,
Yang disederhanakan, menjadi
-0,0017 < p1 – p2 < 0,0217
Karena selang ini mengandung nilai 0, tak ada alasan mempercayai bahwa cara baru tersebut memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding dengan cara lama.

Latihan soal
Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji. Cari selang kepercayaan 99% untuk proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji.
Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunyai peluang berhasil meluncurkan sebuah roket p =0,8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.
Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p
Apakah kenyataannya cukup besar untuk mendukung
Berapakah sampel yang diperlukan di soal 1 bila diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0,05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji.
Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota yang memilih arinya diberi flour. Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila seseorang berharap yakin paling sedikit 95% taksirannya paling banyak sejauh 1% dari presentasi sesungguhnya?
Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merk A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang ahli psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya 0,08 detik. Untuk menentukan berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil rata-rata waktu reaksi dengan kepercayaan 95%, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik, asumsi apakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi? Tentukan berapa orang yang perlu diukur! Bagaimana jika dikehendaki kepercayaan 99%? Apa yang tampak?
Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164.
Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan, 95% untuk rata-rata berat tomat.
Sampel acak yang terdiri atas 400 petani, ternyata 65% tidak memiliki tanah sendiri. Tentukan interval kepercayaan 95% persentase sebenarnya untuk para petani yang memiliki tanah sendiri. Bagaimana jika koefisien kepercayaannya diambil 0,99? Jelaskan apa yang tampak?
Diberikan dua buah sampel dengan data:
Sampel I: 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II: 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63
yang diambil dari dua buah populasi.
Untuk menentukan batas-batas interval kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil? Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih tersebut jika:
Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5.
Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya.
Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar.
Hasil dua jenis semacam tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah sebagai berikut:
Jenis I: 39,3 – 45,5 – 41,2 – 53 – 44,2 – 42,5 – 63,9
Jenis II: 51,5 – 39,4 – 41,2 – 56,7 – 35,7
Tentukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnya!
Metode latihan pertama telah digunakan terhadap 250 orang dan 160 dinyatakan berhasil. Metode latihan kedua dilakukan terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan interval kepercayaan 0,95 untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang berhasil, juga untuk interval kepercayaan 0,99! Apa yang tampak?

ESTIMASI VARIANSIBila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ2 dan variansi sampel S2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ2. Karena itu statistik S2 disebut penaksir σ2.
Taksiran selang untuk σ2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic
χ2=n-1S2σ2Statistik χ2 berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n – 1 bila sampel berasal dari populasi normal.
Jadi, dapat ditulis
Pχ21-α2< χ2<χ2α2=1- αBila χ21-α2 dan χ2α2 masing- masing menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n -1 , sehingga luas di sebelah kanannya 1- α2 dan α2. Ganti χ2 dalam rumus di atas, peroleh
Pχ21-α2< n-1S2σ2<χ2α2=1- αBagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan (n-1) S2 , dan kemudian balikkan tiap suku (jadi ubah arah ketidaksamaan), maka diperoleh
Pn-1S2χ2α2<σ2<n-1S2χ21-α2=1- αUntuk ukuran sampel n, hitunglah variansi sampel S2 , maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100% untuk σ2.
Selang kepercayaan (1-α)100% untuk σ diperoleh dengan menarik akar setiap ujung selang untuk σ2.
Selang kepercayaan untuk σ2Bila S2 variansi sampel acak ukuran n dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk variansi σ2 diberikan oleh
n-1S2χ2α2<σ2<n-1S2χ21-α2Bila χ2α2 dan χ21-α2 menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan υ=n-1 sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar α2 dan 1 - α2.
Contoh 5
Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1 , 45,8 , 47,0 , 46,1 , 45,9 , 45,8 , 46,9 , 45,2 dan 46, 0 . Carilah selang kepercayaan 95 % untuk variansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal.
Jawab
Mula-mula hitunglah
s2=ni=1nχi2-i=1nχi2n n-1= 1021273,12-461,22109=0,286Untuk memperoleh selang kepercayaan 95%, ambil α = 0,05. Dari table chi-kuadrat untuk derajat kebebasan ν=9 diperoleh χ0,0252=19,023 dan χ0,9752=2,700Jadi, selang kepercayaan 95% untuk σ29(0,286)19,023<σ2<9(0,286)2,700atau
0,135 < σ2 < 0,953
Estimasi Nisbah Dua VariansiTaksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi σ12σ22 diberikan oleh nisbah variansi sampel s12s22. Karena itu statistik S12S22 disebut penaksir σ12σ22.
Bila σ12 dan σ22 variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk σ12σ22 dapat diperoleh dengan memakai statistic
F=σ22S12σ12S22Menurut teorema 6.20, peubah acak F mempunyai distribusi-F dengan derajat kekebasan ν1=n1- 1 dan ν2=n2- 1. Jadi, dapat ditulis (lihat gambar 7.8)
Pf1-α2ν1,ν2<F< f α2ν1,ν2=1-α, bila f1-α2ν1,ν2 dan f α2ν1,ν2 menyatakan nilai distribusi F dengan derajat kebebasan ν1 dan ν2 sehingga di sebelah kanannya, masing-masing, luasnya 1- α2 dan α2. Ganti F dalam rumus di atas, diperoleh
Pf1-α2ν1,ν2<σ22S12σ12S22< f α2ν1,ν2=1-αGambar 7.8
Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan S22S12 dan balikkan tiap suku (ubah arah ketidaksamaan) diperoleh
PS12S221fα2ν1,ν2<σ22σ12< S12S22 1f 1-α2ν1,ν2=1-αHasil teorema 6.19 memungkinkan kita mengganti f1-α2ν1,ν2 dengan 1/ fα2ν2,ν1. Jadi
PS12S221fα2ν1,ν2<σ22σ12< S12S22fα2ν2,ν1 =1-αUntuk dua sampel acak bebas ukuran n1 dan n2, yang diambil dari dua populasi normal, hitunglah nisbah variansi sampel s12s22, maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100% untuk σ12σ22.
Seperti pada pasal 7.10, selang kepercayaan (1- α) 100% untuk σ1σ2, dapat diperoleh dengan mengambil akar setiap ujung selang untuk σ12σ22.
Selang kepercayaan untuk σ12σ22Bila s12 dan s22 variansi dari sampel bebas masing-masing ukuran n1 dan n2 dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk nisbah σ12σ22 adalah
s12s221fα2ν1,ν2<σ12σ22< s12s22fα2ν2,ν1 Bila fα2ν2,ν1 menyatakan f1 dengan derajat kebebasan ν1=n1- 1 dan ν2=n2- 1, sehingga luas di sebelah kanannya α2 , dan fα2ν2,ν1 menyatakan nilai f yang sama dengan derajat kebebasan ν2=n2- 1 dan ν1=n1- 1
Contoh :
Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter, pada dua stasion di sungai James telah dihitung di contoh 7.8 dengan menganggap kedua variansi populasi normal tidak sama. Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat selang kepercayaan 98% untuk σ12σ22 dan untuk σ1σ2, bila σ12 dan σ22 variansi populasi kadar ortofosfor masing-masing di stasion 1 dan 2.
Jawab
Dari contoh 7.8 diperoleh n1 = 15, n2 = 12, s1 = 3,07 dan s2 = 0,80 . Untuk selang kepercayaan 98%, α = 0,02. Dengan menggunakan interpolasi dari tabel, kita peroleh f0,01 14,11≈4,3 dan f0,01 11,14 ≈3,87 Jadi, selang kepercayaan 98 % untuk σ12σ22 adalah
3,0720,802 14,30<σ12σ22<3,0720,802 (3,87)Yang, bila disederhanakan, menjadi
3,425<σ12σ22<56,991Ambil akar batas kepercayaan selang ini maka diperoleh selang kepercayaan 98% untuk σ12σ22 adalah
1,851<σ1σ2<7,549Karena selang ini tidak mencakup kemungkinan σ1σ2 sama dengan 1, maka anggapan bahwa σ1 ≠σ2 atau σ12 ≠σ22 di contoh 7.8 mendapat dukungan dari data
Sampai tahap ini semua selang kepercayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik ± K g.b (taksiran titik), K disini suatu tetapan (ataukah r ataupun titik perseratus normal). Hal ini benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi. Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk variansi dan nisbah dua variansi.

Latihan soal
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9 , 2,4 , 3,0 , 3,5 dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi baterai berdistribusi hampiran normal.
Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi, sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr.W.H. Bowen dari Institut Kesehatan Nasional dab Dr. J. Yudhen, Profesor Nutrisi dan Diet di Universitas London. Dalam suatu sampel acak 20 porsi yang sama Alpha-Bits (sejenis sereal) rata-rata kadar gulanya 11,3 gr dengan simpangan baku 2,45 gr. Bila dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ !
Suatu percobaan yang dipopulerkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalam uji coba pada kecepatan tetap 90 km per jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempuh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 liter per km dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km per liter dengan simpangan baku 0,8 km per liter, buatlah selang kepercayaan 98% untuk σ1σ2, bila σ1 dan σ2 masing-masing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan bakar oleh truk VW dan Toyota.
Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek A : x1=36.300 km , s1 = 5000 km ; merek B : x2=38.100 km , s2 = 6100 km. Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk σ12σ22. Apakah anggapan bahwa σ12=σ22 mendapat dukungan dalam membuat selang kepercayaan untuk μ1-μ2?
Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji.
Cari selang kepercayaan 99% bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji.
Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0.05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji
Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunya peluang berhasil meluncurka sebuah roket p=0.8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.
Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p
Apakah kenyataannya cukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih baik? Jelaskan.
A. Menurut suatu laporan di koran Roanoke times & world news, 20 agustus 1981, sekitar 2/3 dari 1600 orang dewasa yang disigi lewat tilpon mengatakan bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara (AS). Cari selang kepercayaan 95% untuk proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara.
B.Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga kepercayaan95% bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik invesatasi yang baik sebesar 2/3
Washington University school of Dental Medicine di St. Louis, dua cangkir teh hijau atau teh hitam Cina tiap hari sudah akan cukup memberi fluor untuk menjaga gigi anda dari kerusakan. Mereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yang airnya tidak diberi fluor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi fluor pada airnya. Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi fluor bila diinginkan paling sedikit 99% yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh 1% dari presentasi sesungguhnya.
Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan pinggirannya yang mendukung pendirian PLTN. Berapakah sampel yang diperlukan agar yakin paling sedikit 95% bahwa taksirannya paling banyak berjarak 0.04 dari proporsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan pinggirannya uang mendukung pendirian PLTN?
Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan rata-rata gaji bulanan karyawan diperusahan A dan perusahan B. Untuk itu diambil sampel acak masung-masing 9 orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka diwawancara satu persatu. Hasil wawancara menunjukan bahwa gaji perbulan (dalam dolar) karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb.:
Kywn 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gaji perusahaan A 40 46 50 36 38 34 42 44 30
Gaji perusahaan B 30 24 16 25 35 40 46 38 34
Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama.
Buatlah interval taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan rata-rata gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut.
Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merek A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9, 2,4, 3,0, 3,5, dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi baterai berdistribusi hampiran normal.
Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam cairan tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku 1,1 mm. sampel kedua dengan 200 potong logam yang sma direndam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku 0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98 % untuk selisih kedua rataan populasi. Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?
Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan cendawan yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam sejenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai control dan setengah lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3. Berat batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sbb:
Tanpa Nitrogen Nitrogen
0,32
0,53
0,28
0,37
0,47
0,43
0,36
0,42
0,38
0,43 0,26
0,43
0,47
0,49
0,52
0,75
0,79
0,86
0,62
0,46
Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing;
Obat 1 Obat 2
N1= 14
ẋ1=17
s12=1,5 N2= 116
ẋ2= 19
s22= 1,8
Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat µ1- µ2, anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
Suatu percobaan yang dilaporkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalm uji coba pada kecepatan 90 km/jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempukh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 km per liter dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km dengan simpangan baku 0,8 per liter. Buat lah selang kepercayaan 90% untuk selisih antara rataan km per liter kedua jenis truk mini. Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek A: x1= 36.300 km, s1= 5000 km; merek B x2= 38.100 km, s2=6100 km. hitunglah selang kepercayaan 95% untuk µ1- µ2, anggap kedua populasi berdistribusi hamper normal.
Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film gambar hidup.
perusahaan Waktu (menit)
A 103 94 110 87 98 88 118
B 97 82 123 92 175 Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi normal.
Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk µ1- µ2 bila suatu ban dari tiap merek dipasang secara acak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam km, adalah ;
Taksi Merek A Merek B
1 33,400 36,700
2 45,500 46,800
3 36,700 37,700
4 32,000 31,100
5 48,400 47,800
6 32,800 36,400
7 38,100 38,900
8 30,100 31,500
Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal.
20. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas gandum yang baru. Tiap varietas di tanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dalam kilogram per petak, adalah sebagai berikut;
varietas Universitas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38
Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43
HItunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini.
21. Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-rata dari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalaya dan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 juta dengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah interval rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat!
22. Pemerintah DKI Jakarta mengadakan program peningkatan usaha kecil dan menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah. Untuk mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang yang mengikuti proyek dan tidak. Pendapatan 13 orang dari 67 peserta yang ikut proyek sebesar 1,2 juta perbulan dengan standar deviasi sebesar 0,2 juta. Sedang pendapatan 5 orang dari 34 orang nonpeserta rata-rata sebesar 0,8 juta dengan standar deviasi 0,4. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%, buatlah interval keyakinan tentang selisih dari kedua kelompok tersebut.
23. PT Lipo Karawaci yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akan membangun perumahan di Sentul, Bogor. Untuk keperluan tersebut diadakan survey tentang daya beli masyarakat. Berdasarkan data di Kecamatan diketahui standar deviasi pendapatan masyarakat sebesar 0,8 juta. Apabila diasumsikan bahwa kesalahan penarikan sampel sebesar 0,1 juta, dengan tingkat kepercayaan 99%, berapa sampel yang harus diambil oleh PT Lipo Karawaci?
24. PT. Islamic Net ingin mengetahui jumlah rata-rata nilai penjualan per hari dari tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya. Hasil sementara menunjukkan rata-rata perjalanan 150 ribu dengan standar deviasi 14 ribu. Berapa sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler adalah 2 ribu dan tingkat keyakinan 99%?
25. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder.Sampel beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99 , 0.98,0.99,1.01, dan 1.03.Hitunglah selang kepercayaan 0.99% untuk rataan potongan diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal.
26. Pengukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis cat lateks merek tertentu.
3,42,54,82,93,6
2,83,35,63,72,8
4,44,05,23,04,8
Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel acak yang diambil dari populasi normal, hitunglah batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% waktu mengering.
27. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya :
1,010,971,031,040,990,980,991,01dan 1,03 cm.
Hitunglah selang kepercayaan 99 % untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.
28. Diketahui x1 + x2 +......+ x7, diambil ample acak dari populasi yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ2. Perhatikan estimator µ sbagai berikut:
Ø1 = (x1+x2+....+x7)/7
Ø2 = (2x1 – x6 + x4)/2
Apakah kedua estimator unbiased?
Yang mana estimator terbaik?
29. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengann ukuran n dari populasi yang dinotasikan sebagaii x, dan E(x) = μ dan var x =σ2.
Diketahui x1 = 12n i=12nxi dan x2 = 1n i=1nxiAdalah dua estimator μ . Yang mana estimator μ yang lebih baik? Jelaskan pilihan anda.
30. Misalkan θ1 ,θ2and θ3 adalah estimator estimator θ . Kita tahu bahwa E(θ1)= E(θ2) dan = θ, E(θ3)≠θ, var θ1 =12, var θ2 =10 and E[θ3 – θ]2 =6. Bandingkan ke tiga estimator. Yang mana yang lebih baik? Kenapa?
31. In a binomial experiment exactly x successes are observed in n independent trials. The following two statistics are proposed as estimators of the proportion parameter p: T1 = x/n and T2 = (x+1)/(n+2)
Determine and compare the MSE for T1 and T2.
32. X1, X2, X3 and X4 adalah sample random dengan ukuran n= 4 dari suatu populasi yang berdistribusi exponensial dengan parameter θ yang tidak diketahui.
Diantara:
T1= 1/6(x1+x2) + (1/3(x3+x4)
T2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5
T3=(x1+x2+x3+x4)/4
Tentukan Statistik mana yang unbiased estimator dari θ?
Diantara estimator θ yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik
33. Diketahui populasi 1 dengan rata-rata = 80 dan simpangan baku=5, dan populasi 2 dengan rata-rata = 75 dan simpangan baku = 3, diambil sampel masing-masing n1= 25 dan n2=36.
Ditanya: berapa probabilitas (3,4≤x1-x2≤5,9)

UJI HIPOTESISPENDAHULUAN


Dalam bab ini akan dibahas bagaimana cara menguji suatu statemen dimana statemen tersebut belum tentu kebenarannya. Uji hipotesis yang akan dibahas antara lain :
Uji menyangkut rataan
Uji menyangkut proporsi
Uji menyangkut variansi

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
Baik untuk satu ataupun dua populasi.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan dapat digunakan dalam situasi nyata.
Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis
Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah menggunakan uji hipotesis
Mahasiswa diharapakan dapat mengidentifikasi terhadap masalah yang dihadapi perusahaan
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup

RINGKASAN MATERI


HIPOTESIS STATISTIK
Pengujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar inferensi statistik. Hipotesis statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Namun, karena tidak memungkinkan memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel acak dan menggunakan informasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.



Prosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak dan biasanya disebut dengan Hipotesis Nol (H0). Hipotesis Nol ini juga sering menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1).
H0 → ditulis dalam bentuk persamaan (=)
H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠)
Contoh 1
Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem pendaftaran "ONLINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya "bahwa rata-rata waktu pendaftaran dengan sistem ONLINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang lama". Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit. Perumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)
H1 : µ < 50 menit (sistem baru lebih cepat dibanding sistem lama)
ARAH PENGUJIAN HIPOTESISPengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :
1. Uji Satu Arah (uji ekasisi)
2. Uji Dua Arah (uji dwisisi)
Hipotesis nol (H0), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal. Untuk penggunaan uji ekasisi dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika H0 ditolak. Letak daerah kritis (daerah penolakan H0) baru dapat ditentukan hanya setelah H1 ditentukan.

Uji EkasisiUji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) tidak dibagi dua, karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang.
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis: z < -zαataut < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t)

Gambar STYLEREF 1 \s IV. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 1 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kiri

Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis: z < -zα ataut < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t)

Gambar STYLEREF 1 \s IV. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 2 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kanan
Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis

Uji DwisisiUji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) dibagi dua, karena α diletakkan di kedua sisi selang.
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis: z < -zα2ataut < -t(db;α2) (pengunaan z atau t tergantung pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t)

Gambar STYLEREF 1 \s IV. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 3 Wilayah Kritis untuk Uji Dwisisi
KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESISDalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan kesalahan (kesalahan = error = galat), yaitu:
Galat jenis 1 (α) : menolak H0 padahal H0 benar
Galat jenis 2 (β) : menerima H0 padahal H0 salah
Tabel STYLEREF 1 \s IV. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 1 Kemungkinan Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Statistik
Kesimpulan Keadaan Sebenarnya
H0 benar H0 salah
Terima H0 Keputusan benar Galat jenis 2
Tolah H0 Galat jenis 1 Keputusan benar
Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β. Dalam perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatif sangat spesifik.
Contoh 2
Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25% setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk menentukan apakah vaksin baru leih unggul daripada vaksin lama, dipilih 100 orang secara acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari 2 tahun, 36 orang atau lebih tidak terserang virus, maka vaksin baru dianggap lebih unggul daripada vaksin lama. Hitung galat jenis I (α) dan galat jenis II (β) dengan p = 12 !
Jawab :
H0 : p = 14H1 : p > 14Daerah kritis : x > 36daerah penerimaan : x ≤ 36
(gunakan pendekatan distribusi normal baku)
µ = n . p = 100 . 14 = 25 = n .p .q = 100 . 14.34 = 4,33
28448044450
Z = x- µ =36,5-254,33 = 2,66
α

36,5
25

Gambar STYLEREF 1 \s IV. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 4 Peluang Suatu Galat Jenis I
α25
= P (galat jenis I)
= P (H0 tolak H0 benar)
= P (x > 36 p = 14)
= P (Z > 2,66)
= 1 - P (Z < 2,66)
= 1 – 0,9961
= 0,0039
µ = n . p = 100 . 12 = 50 = n .p .q = 100 . 12.12 = 5
Gambar STYLEREF 1 \s IV. Peluang Suatu Galat Jenis II
19050-195580Z = x- µ =36,5-505 = -2,7
α25
= P (galat jenis II)
= P (H0 terima H0 salah)
= P (x ≤ 36 p = 12)
= P (Z < - 2,7)
= 0,0035
Sifat-sifat galat :
Galat jenis I dan galat jenis II berkaitan. Memperkecil peluang yang satu dapat biasanya memperbesar peluang yang lainnya.
Ukuran daerah kritis, jadi juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.
Menaikkan ukuran sampel nakan memperkecil α dan β secara serentak.
Bila H0 salah, β akan mencapai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin kecil pula β.
Suatu pengertian yang amat penting yang berkaitan dengan kedua peluang galat ialah perngertian kuasa uji. Kuasa suatu uji adalah peluang menolak H0 bila suatu tandingan tertentu benar. Kuasa suatu uji dapat dinotasikan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan 1 – β.
LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESISUntuk melakukan suatu uji hipotesis, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :
Tentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis tandingan (H1).
Pilih taraf keberartian α
Tentukan arah pengujian (ekasisi atau dwisisi)
Tentukan daerah kritisnya
Pilih uji statistik yang sesuai
Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
Tentukan kesimpulan (tolak H0 bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah kritis dan terima H0 bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis)
Beberapa nilai Z yang sering digunakan:
z5% = z0.05 =1.645 z2.5% = z0.025 =1.96
z1% = z0.01 = 2.33 z0.5% = z0.005 = 2.575
UJI MENYANGKUT RATAANPengujian hipotesis yang menyangkut rataan terdiri dari berbagai macam cara, diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui, uji menangkut satu rataan dengan variansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui tapi 1=2 atau 1 ≠ 2, dan uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan.
Tabel STYLEREF 1 \s IV. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 2 Uji Menyangkut Rataan
NO H0 Statistik H1 Daerah Kritis
1. =0 z=x-μσ/n
; diketahui <0
>0
0 Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
2. =0 t=x-μ0Sn ;
tidak diketahui
v= n-1 <0
>0
0 t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
3. 1-2=d0 z = x1-x2- d0 σ12n1+σ22n2 ;
1 dan 2 diketahui 1-2<d0
1-2>d0
1-2 d0 Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
4. 1-2=d0 t= x1-x2- d0 Sp1n1+1n1
; v = n1+ n2 -2
1=2 tetapi tidak diketahui
Sp2= n1-1s12+(n2-1)s22n1+n2-21-2<d0
1-2>d0
1-2 d0 t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
5. 1-2=d0 t= x1-x2- d0 s12n1+s22n2
1 ≠ 2 dan tidak diketahui
υ=s12n1+s22n22s12n12n1-1+s22n22n2-1 1-2<d0
1-2>d0
1-2 d0 t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
6. D=d0 t= d- d0 sdn
v = n-1
pengamatan berpasangan D<d0
D>d0
1D d0 t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
Contoh 3. Uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui
3240405931545Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukan rata-rata usia mereka 71,8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8,9 tahun, apakah ini menunjukan bahwa rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf keberartian (α) 0,05.
Jawab :
H0 : µ = 70 tahun
H1 : µ > 70 tahun
α = 0,05
daerah kritis z > 1,645 Gambar STYLEREF 1 \s IV. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 6 Daerah Kritis contoh 3.
perhitungan : x = 71,8 tahun ; = 8,9 tahun
Z = x- µ /n =71,8-708,9/100 = 2,02
Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun.
Contoh 4. Uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku 4 sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada taraf kepercayaan 0,05 keausan bahan 1 melampaui keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggaplah populasi hampir normal dengan variansi yang sama.
Jawab :
Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan populasi keausan bahan 1 dan bahan 2.
H0 : µ1 - µ2 = 2
H1 : µ1 - µ2 > 2
α = 0,05
daerah kritis t > 1,725
perhitungan : x1 = 85 ; s1 = 4 ; n1 = 12 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ; n2 = 10
sp = 12-116+(10-1)2512+10-2 = 4,478
t = (85- 81)-2 4,478/112+110 = 1,04
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan : tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui bahan 2 lebih dari 2 satuan.
Contoh 5. Uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan
Dalam makalah 'Influence of Physical Restraint and Restraint-Facilitating Drugs on Blood Measuraments of White-Tailed Deer and Other Selected Mammals', Virginia Polythechnic Institue and State University (1976), J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan succinylcholine pada otot menggunakan panah dan senapan penangkap. Risa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sebagai berikut: (anggap populasi androgen berdistribusi normal)
Rusa Androgen (ng/ml) di
Waktu suntikan 30 menit setelah suntikan 1 2,76 7,02 4,26
2 5,18 3,10 -2,08
3 2,68 5,44 2,76
4 3,05 3,99 0,94
5 4,10 5,21 1,11
6 7,05 10,26 3,21
7 6,60 13,91 7,31
8 4,79 18,53 13,74
9 7,39 7,91 0,52
10 7,30 4,85 -2,45
11 11,78 11,10 -0,68
12 3,90 3,74 -0,16
13 26,00 94,03 68,03
14 67,48 94,03 26,55
15 17,04 41,70 24,66
Dengan menggunakan taraf keberartian 0,05, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit?
Jawab :
Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu suntikan dan 30 menit setelah suntikan.
H0 : µ1 = µ2 atau HD : µ1 - µ2 = 0
H1 : µ1 ≠ µ2 atau HD : µ1 - µ2 ≠ 0
α = 0,05
daerah kritis t < -2,145 dan t > 2,145v = 14
perhitungan : rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai di adalah d = 9,848 dan sd = 18,474
t = 9,848-0 18,474/15 = 2,06
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan : ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran androgen.
UJI MENYANGKUT PROPORSIUji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang. Sebagai contoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang akan mendukungnya dalam pemilihan. Uji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut proporsi dan uji menyangkut selisih proporsi.
Tabel STYLEREF 1 \s IV. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 3 Uji Menyangkut Proporsi
Ho Statistik H1 Daerah Kritis
p=p0 z= p- p0p0q0n
p<p0
p>p0
p p0 Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
p1=p2 z= p1- p2pq1n1+1n2
p1<p2
p1>p2
p1 p2 Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
p1=p2=.....=pk χ2= oi- ei2ei Tidak semuanya sama 2 >2

Contoh 6. Menguji proporsi dengan sampel kecil
Suatu perusahaan tv menyatakan bahwa 70% tv di kota B berasal dari perusahaan tersebut. Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel acak di kota B menunjukan bahwa 8 dari 15 tv berasal dari perusahaan tadi? Gunakan taraf keberartian 0,01.
Jawab :
H0 : p = 0,7
H1 : p ≠ 0,7
α = 0,10
uji statistik: peubah binomial X dengan p = 0,7 dan n = 15
perhitungan : x = 8 dan npo = (15)(0.7) = 10,5
P = 2P(X ≤ 8 bila p = 0,7)
= 2x=108b(x;15;0,7)= 0,2622 > 0,10
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan : tidak cukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut.
Contoh 7. Menguji proporsi
Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syaraf diyakini manjur hanya 60%. Hasil percobaan dengan obat baru yang dicobakan pada sampel acak 100 orang dewasa yang menderita ketegangan syaraf menunjukan bahwa 70 merasa tertolong. Apakah kenyataan ini cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasa/ gunakan taraf keberertian 0,05.
Jawab :
H0 : p = 0,6
H1 : p > 0,6
α = 0,05
daerah kritis z > 1,645
perhitungan : x = 70 ; n = 100 ; npo = (100)(0,6) = 60
Z =70-60100.0,6.0,4 = 2,04
Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : obat baru lebih unggul.
Contoh 8. Menguji selisih dua proporsi
Pemungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui pembangunan pabrik tersebut. Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara proporsi penduduk kota dan kabupaten yang meng=dukung rencana tersebut, suatu pol diadakan. Bila 120 dari 200 penduduk kota yang setuju dan bila 240 dari 500 penduduk kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang setuju? Gunakan taraf keberartian 0,025.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yang menyetujui rencana tersebut.
H0 : p1 = p2
H1 : p1 > p2
α = 0,025
daerah kritis z > 1,96
perhitungan :
p1 = x1n1 = 120200 = 0,6
p2 = x2n2 = 240500 = 0,48
p = x1+x2n1+n2 = 120+240200+500 = 0,51
Z =0,6-0,480,51.0,49{1200+(1500) = 2,9
Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang tidak menyetujui.
UJI MENYANGKUT VARIANSIPengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya. Statistik yang cocok sebagai dasar keputusan adalah statistik chi-square dan statistik F.
Tabel STYLEREF 1 \s IV. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 4 Uji Menyangkut Variansi
Ho
Statistik H1 Daerah Kritis
=0 χ2= n-1s2σ02
= n-1 <0
>0
0 2 <2
2 >2
2<2/2
2>2/2
1=2 f= s12s22
1 = n1-1
1 = n1-1 1<2
1<2
1 2 f < f1- (1,2)
f > f (1,2)
f < f1-/2(1,2)
f > f/2 (1,2)
Contoh 9. Menguji variansi
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,9 tahun/ Bila sampel acak 10 beterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa > 0,9 tahun? Gunakan taraf keberartian 0,05.
Jawab :
H0 : 2= 0,81.
H1 : 2 > 0,81.
α = 0,05.
Daerah kritis 2 > 16,919 dengan derajat kebebasan v = 9
Perhitungan s2 = 1,44, n = 10
2 = 9(1,44)0,81 = 16,0
Keputusan : Statistik x2 tidaklah berarti pada taraf 0,05. Akan tetapi, ada sedikit kenyataan bahwa > 0,9.
Contoh 10. Menguji selisih dua variansi
Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di contoh V.2, dianggap bahwa kedua variansi populasi yang tidak diketahui sama besarnya. Apakah anggapan seperti ini beralasan ?
Jawab :
H0 : σ12= σ22H1 : σ12≠ σ22α = 0,10
Daerah kritis :
f0,05 (11,9) = 3,11
f0,95 (11,9) = 1f0,05 (11,9) = 0,34
Jadi, hipotesis nol ditolak bila f < 0,43 atau f > 3,11, untuk f = s12/s22 dengan derajat kebebasan v1 = 9 dan v2 = 9
Perhitungan s12 = 16, s12= 25, jadi
f = 1625 = 0,64
Keputusan : terima H0.
Kesimpulan : tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.
Latihan Soal
Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar p = 0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p < 0,6 didukung.
Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6.
Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.
Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir sebanyak p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 200 orang dewasa dipilih. Bila banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 48 dan 72, maka hipotesis nol bahwa p = 0,3 diterima. Jika tidak, maka disimpulkan bahwa p ≠ 0,3.
Carilah α kalau p = 0,3.
Carilah β untuk tandingan p =0,2 dan p = 0,4.
Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa µ = 800 jam lawan tandingan µ ≠ 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-rata umur 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.
Suatu pernyataan menyatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km setahun di suatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini sampel acak sebanyak 100 pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,05.
Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang rata-rata benang A melebihi daya rentang rata-rata benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya rentang 86,7 dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata-rata daya rentang 77,8 dengan simpanagn baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
Untuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, 9 tikus dipilih yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut. Lima tikus mendapat serum tadi dan empat lainnya tidak. Umur, dalam tahun, sejak permulaan percobaan sebagai berikut:
perlakuan 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9
Tanpa perlakuan 1,9 0,5 2,8 3,1 Pada taraf keberartian 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong? Anggap kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar hidup:
Perusahaan Waktu (menit)
A 102 86 98 109 92 B 81 165 97 134 92 87 114
Ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya melebihi 10 menit. Gunakan taraf keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut hampir normal dengan variansi tidak sama.
Dari penelitian 'Comparison of Sorbic Acid in Countri Ham Before and After Storage' yang dilakukan di Virginia Polythecnic Institute and State University pada tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan 60 hari dicatat:
Potongan Sisa asam sorbat dalam ham
Sebelum disimpan Setelah disimpan
1 224 116
2 270 96
3 400 239
4 444 329
5 590 437
6 660 597
7 1400 689
8 680 576
Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
Misalkan bahwa dulu 40% dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati. Apakah cukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel acak 15 orang dewasa, 8 yang menyetujui hukuman mati? Gunakan taraf keberartian 0,05.
Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi. Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga yang memiliki televisi? Gunakan taraf keberartian 0,04.
Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok. Bila diketahui bahwa 56 dari 200 perokok lebih menyenangi merek A dan 19 dari 150 perokok lebih menyenangi merek B, dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,06 bahwa merek A lebih laris daripada B?
Pengalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas 3 SMA untuk menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa = 6 lawan tandingan bahwa < 6 bila sampel acak 20 murid SMA kelas 3 mempunyai simpangan baku s = 4,51. Gunakan taraf keberartian 0,05.
Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu kota pada PMI berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,40 ribu rupiah. Ada dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada PMI mempunyai simpangan baku 1,75 ribu rupiah. Dapatkan disimpulkan, pada taraf keberartian 0,01, bahwa simpangan baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota tersebut?
Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila variansi isi minuman yang dikeluarkannya melebihi 1,15 desiliter. Bila sampel acak 25 cangkir minuman dari mesin ini mempunyai variansi 2,03 desiliter, apakah ini menunjukan, pada taraf keberartian 0,05, bahwa mesin diluar kendali? Anggap bahwa isi cangkir berdistribusi hampir normal.
Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan-perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-rata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang.
Perubahan-perubahan akan memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara menyeluruh dalam proses produksi. Percobaan terhadap 6 unit proses produksi (dalam persen), sebagai berikut:
8,2 – 7,9 – 8 – 8,4 – 8,3 – 7,8
Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi rata-rata kerusakan paling banyak 8%. Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan!
Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 40% mahasiswa tingkat pertama lulus mata kuliah A. jika tahun ini 496 dari 1.078 lulus mata kuliah A, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku?
Ambil Taraf nyata 0,05 dan 0,01 lalu bandingkan!
Suhu udara di kota B selama 60 bulan terakhir mencapai simpangan baku 0,8° Celsius. Pengamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun mencapai rata-rata suhu (dalam ° Celsius): 28,4 – 30,7 – 30,2 – 29,4 – 29,9 – 31,2 – 27,9 – 29,8 – 30,9 – 29,2 – 28 – 30,2.
Tentukanlah apakah variabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan dengan selama 60 bulan terakhir tersebut. Ambil taraf nyata 0,05.
Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya (dalam kg) sebagai berikut:
Pasien Berat Sebelum Diet Berat Sesudah Diet
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 78,3
84,7
77,4
95,6
82,0
69,4
79,7
85,6
92,8
99,2 77,4
83,2
75,7
92,4
80,2
68,1
76,9
83,9
90,4
95,2
Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan?
Ujilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet sama besar!
Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil?
Sampel-sampel acak yang masing-masing berukuran 100 mengenai pendapatan bulanan pegawai (dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij), telah diambil dari tiga kota. Hasilnya sebagai berikut:
Kota Ukuran Sampel Σj Yij Σj Yij2
I
II
III 100
100
100 475,0
526,5
507,5 5.001,25
5.948,50
5.678,25
Misalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal. Dengan taraf nyata 0,05 ujilah apakah varians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidak!

UJI CHI-SQUAREPENDAHULUAN


Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujian:
Goodest of fit test
Indepedent (uji kebebasan)

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik kecocokan ataupun kebebasan dengan menggunakan uji Chi- Square.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS


Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji chi-square
Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah
Mahasiswa diharapkan dapat mengimplementasikan terhadap masalah yang dihadapi perusahaan
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup

RINGKASAN MATERI


Uji Chi Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau frekuensi aktual dengan frekuensi harapan atau frekuensi ekspektasi. Frekuensi obserfasi diperoleh dari nilai pada hasil percobaan, sedangkan frekuensi harapan diperoleh dari perhitungan secara teoritis. Bentuk distribusi Chi Square dinotasikan dengan X2 oleh karena itu nilainya selalu positif.
GOODNESS OF FIT TESTGoodness of fit test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap kecocokan atau baiknya kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan.  Uji goodness of fit antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan didasarkan pada besaran:
X2= i=1koi- ei2eiX2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan v=k-1
k : jumlah sel atau kelas
oi : frekuensi amatan
ei : frekuensi harapan
Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan, maka nilai X2 akan kecil. Hal ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara frekuensi amatan dengan frekuensi harapan. Tetapi jika frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai X2 akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek. Kesesuaian yang baik akan mendukung penerimaan terhadap H0, sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung penolakan terhadap H0.
Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi Chi-Kuadrat. Untuk taraf keberartian α, ditemukan nilai kritis Xα2 dari tabel, maka daerah kritisnya adalah X2 > Xα2. Uji goodness of fit sebaiknya digunakan jika setiap frekuensi harapan paling sedikit 5. Jika kurang dari 5, maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan besarnya derajat kebebasan.
Contoh 1
Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak 120 kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut setangkup. Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu tersebut adalah distribusi seragam (uniform) diskret. Maka :
H0 = Hasil pelemparan dadu setangkup
H1 = Hasil pelemparan dadu tidak setangkup
f(x) = 16 x = 1,2,…,6
Secara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemunculan setiap muka sebanyak 20 kali. Hasilnya diberikan pada tabel berikut :
Tabel STYLEREF 1 \s V. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 1 Frekuensi Amatan dan Harapan dari Lantunan Dadu 120 Kali
MUKA
1 2 3 4 5 6
Amatan 20 22 17 18 19 24
Harapan 20 20 20 20 20 20
Dari tabel tersebut diperoleh nilai X2 adalah:
X2 = (20-20)220+ (22-20)220+ (17-20)220+ (18-20)220+ (19-20)220+ (24-20)220 = 1,7
Apabila ditetapkan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh :
Daerah Penolakan H0
Xα2Xα2=11.070 dengan derajat kebebasan v = 5

Gambar STYLEREF 1 \s V. SEQ Gambar \* ARABIC \s 1 1 Daerah Kritis Distribusi Chi-Square Xα2Karena nilai X2< Xα2 , maka H0 diterima.
Jadi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup.
Contoh 2
Akan diuji hipotesis bahwa distribusi frekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan distribusi normal dengan rataan µ = 3,5 dan simpangan baku σ = 0,7. Distribusi frekuensi umur baterai disajikan dalam tabel berikut :
Tabel STYLEREF 1 \s V. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 2 Frekuensi Umur Baterai
Selang Kelas Titik Tengah Kelas Frekuensi
1,5 – 1,9 1,7 2
2,0 – 2,4 2,2 1
2,5 – 2,9 2,7 4
3 – 3,4 3,2 15
3,5 – 3,9 3,7 10
4,0 – 4,4 4,2 5
4,5 – 4,9 4,7 3
Frekuensi harapan untuk 7 kelas (sel) diperoleh dengan menghitung luas di bawah kurva normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas.
Sebagai contoh, nilai z pada kedua batas kelas keempat adalah
Z1 = x1- μσ= 2.95-3,50,7 = -0,79 Z2 = x2- μσ= 3.45-3,50,7 = -0,07
Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara z1 = -0,79 dengan z2 = -0,07.
Luas = P(-0,79 < Z < -0,07)
= P(Z<-0,07) – P(Z<-0,79)
= 0,4721 – 0,2148
= 0,2573
Frekuensi harapan untuk kelas keempat adalah
e4 = luas x total frekuensi
= 0,2573 x 40
= 10,3
Frekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan.
Frekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah kurva normal di sebelah kiri batas 1,95. Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah kurva normal di sebelah kanan batas 4,45. Semua frekuensi harapan kelas lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama pada kelas keempat.
Tabel STYLEREF 1 \s V. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 3 Frekuensi Amatan dan Harapan Umur Baterai Bila Distribusinya Normal
Batas Kelas oi ei
1,45 – 1,95 7
2 8,5
0,5
1,95 – 2,45 1 2,1
2,45 – 2,95 4 5,9
2,95 – 3,45 15 10,3
3,45 – 3,95 1 10,7
3,95 – 4,45 8
5 10,5
8
7,0
4,45 – 4,95 3 3,5
Pada kelas pertama, frekuensi harapan yang diperoleh kurang dari 5, maka dilakukan penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga. Begitu juga dengan kelas keenam dan ketujuh. Karena penggabungan tersebut, jumlah kelas (sel) berkurang dari 7 kelas menjadi 4 kelas.
X2 = (7-8,5)28,5+ (15-10,3)210,3+ (1-10,7)210,7+ (8-10,5)210,5 = 3,05
Dengan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh :
Xα2=7,815 dengan derajat kebebasan v = 3. Artinya tidak ada alas an untuk menolak hipotesis nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan µ = 3,5 dan simpangan baku σ = 0,7 mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai.
LATIHAN SOAL
Suatu mesin seharusnya mencampur kacang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam perbandingan 5 : 2 : 2 : 1. Suatu kaleng yang berisi 500 keempat jenis kacang ini ditemukan mengandung 269 kacang tanah, 112 kemiri, 74 mete, dan 45 kenari. Pada taraf keberartian 0,05, uji hipotesis bahwa mesin tersebut mencampur kacang dalam perbandingan 5 : 2 : 2 : 1.
Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian. Y adalah banyaknya kartu spade yang terambil. Setelah percobaan sebanyak 64 kali diperoleh hasilnya sebagai berikut :
Y 0 1 2 3
F 21 31 12 0
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa data yang diperoleh sesuai dengan distribusi binomial b(y; 3, ¼), y = 0, 1, 2, 3
Tiga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng hijau. X adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian dikembalikan lagi dan percobaan diulangi sebanyak 112 kali. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
X 0 1 2 3
F 1 31 55 25
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 5% bahwa data di atas sesuai dengan distribusi hipergeometrik h(x,N,n,k)dimana N = 8, n = 3, k = 5.
Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika.
23 60 79 32 57 74 52 70 82 36
80 77 81 95 41 65 92 85 55 76
52 10 64 75 78 25 80 98 81 76
41 71 83 54 64 72 88 62 74 43
60 78 89 76 84 48 84 90 15 79
34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok
Ujilah kebaikan suai kelompok amatan dengan frekuensi harapan padanannya dari distribusi normal dengan µ = 65 dan σ = 21 dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi Poisson. Pengamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini.
Mesin Banyak barang rusak tiap hari
1
2
3 4, 3, 4, 6, 3, 5
3, 2, 3, 6, 5, 2
5, 5, 3, 4, 4, 6
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh ketiga mesin itu sama besar?
Hasil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai (laki-laki dan perempuan) mengenai pendapat tentang peraturan baru adalah sebagai berikut.
Pegawai
Pendapat Laki- Laki Perempuan
Setuju 102 88
Tak Setuju 78 136
Tak Peduli 20 76
Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut?
Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari. Percobaan terhadap 158 orang yang pilek telah dilakukan. Setengahnya diberi obat A dan sisanya diberi obat gula. Pada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai, hasilnya dicatat dan diberikan dalam daftar berikut.
Sembuh Bertambah
payah Tidak
berubah
Obat A 54 10 15
Obat gula 48 12 19
Ujilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama.

INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh).
Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k kolom. Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan Hipotesis Awal (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu:
H0: variabel-variabel saling bebas
H1: variabel-variabel tidak saling bebas
Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang diperoleh dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi terlebih dahulu sebelum melakukan pengujian.
Frekuensi ekspektasi = total kolomx (total baris)total observasiUji kebebasan dirumuskan dalam:
X2= i,j=1r,koij- eij2eijX2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan v=(r-1)(k-1)
k : jumlah kolom
r : jumlah baris
oij : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j
eij: frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j
Contoh 1
Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Data yang diperoleh disajikan dalam tabel berikut:
Pria Wanita Total Baris
< 25 jam/minggu 2 3 5
25-50 jam/minggu 7 6 13
> 50 jam/minggu 5 7 12
Total Kolom 14 16 Total Observasi=30
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Gunakan taraf uji 0,05.
Jawab :
H0 : gender dan jam kerja saling bebas
H1 : gender dan jam kerja tidak saling bebas
α = 0,05
Daerah kritis 2 > 5,99147 dengan derajat kebebasan v =(3-1)(2-1)= 2
Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
Pria, < 25 jam = 14 x 530 = 2,33- Wanita, < 25 jam = 16 x 530 = 2,67
Pria, 25-50 jam = 14 x 1330 = 6,07- Wanita, 25-50 jam = 16 x 1330 = 6,93
Pria, > 50 jam = 14 x 1230 = 5,60- Wanita, >50 jam = 16 x 1230 = 6,40
kategori oij eij (oij - eij) (oij - eij)2(oij - eij)2/ eij
P, < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467
P, 25-50 7 6,07 0,93 0,8649 0,1425
P, > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643
W, < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408
W, 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249
W, > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563
∑ 2 hitung = 0,4755
Keputusan : 2 hitung < 2 tabel, H0 diterima
Kesimpulan : gender dan jam kerja saling bebas
Contoh 2
Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di Illinois dikelompokan menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji 0,05)
Perubahan Pajak Tingkat Pendapatan Total
R (Rendah) M (Menengah) B (Berada) Setuju 182 213 203 598
Tidak Setuju 154 138 110 402
Total 336 351 313 1000
Jawab :
H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya saling bebas
H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas
α = 0,05
Daerah kritis 2 > 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2
Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
Setuju, R = 336 x 5981000 = 200,9- Tidak Setuju, R = 336 x 4021000 = 135,1
Setuju, M = 351 x 5981000 = 209,9- Tidak Setuju, M = 351 x 4021000 = 141,1
Setuju, B = 313 x 5981000 = 187,2- Tidak Setuju, B = 313 x 4021000 = 125,8
kategori oij eij (oij - eij) (oij - eij)2(oij - eij)2/ eij
Setuju, R 182 200,9 -18,9 357,21 1,78
Setuju, M 213 209,9 3,1 9,61 0,05
Setuju, B 203 187,2 15,8 249,64 1,33
Tidak Setuju, R 154 135,1 18,9 357,21 2,64
Tidak Setuju, M 138 141,1 -3,1 9,61 0,07
Tidak Setuju, B 110 125,8 -15,8 249,64 1,98
∑ 2 hitung = 7,85
Keputusan : 2 hitung > 2 tabel, H0 ditolak
Kesimpulan : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas.
Latihan Soal
Dalam percobaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh data berikut yang menyangkut 180 orang:
Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat
Hipertensi 21 36 30
Tidak hipertensi 48 26 19
Ujilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan merokok. Gunakan taraf keberartian 0,05.
Suatu sampel acak 200 pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi menurut pendidikan dan jumlah anak:
Pendidikan Ayah Jumlah Anak
0-1 2-3 Lebih dari 3
Sekolah Dasar 14 37 32
Sekolah Menengah 19 42 17
Perguruan Tinggi 12 17 10
Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa banyaknya anak tidak tergantung pada tinggi pendidikan yang dicapai oleh ayah.
Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar. Kejahatan yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pencurian, dan pembunuhan. Tabel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 4 bagian kota tahun lalu.
Daerah Jenis Kejahatan
Penodongan Pembongkaran Pencurian Pembunuhan
1 162 118 451 18
2 310 196 996 25
3 258 193 458 10
4 280 175 390 19
Dapatkah disimpulkan dari data ini pada taraf keberartian 0,01 bahwa terjadinya kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu?
BAB VI
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA
6.0. Tujuan Pembelajaran:
Mahasiswa Mampu:
Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel
Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier
Menentukan korelasi dan mengujinya
Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana
Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi
Menentukan Model Regresi yang Layak
Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien Regresi
Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi
Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan analisis regresi secara benar
6.1. Scatter Plot
Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:
Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)

Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif
Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier
Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak memilki hubungan.
  6.2. Analisis Korelasi
Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut Koefisien Korelasi Pearson Product Momernt.
6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)
Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik. Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin pengujian terhadapnya sah.
Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua variabel menurut Walpole :
Tabel 1.
Interval Koefisien Tingkat Hubungan
0.00 – 0.199
0.20 – 0.399
0.40 – 0.599
0.60 – 0.799
0.80 – 1.000 Sangat rendah
Rendah
Cukup
Kuat
Sangat Kuat

Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan sebagai berikut:
Tabel 2.
Interval Hubungan Tingkat Hubungan
0 Tidak ada korelasi antara dua variabel
>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah
>0,25 – 0,5 Korelasi cukup
>0,5 – 0,75 Korelasi  kuat
>0,75 – 0,99 Korelasi  sangat kuat
1 Korelasi sempurna

Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai dengan +1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan penurunan suatu variabel yang lain, sedangkan penurunan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang lain.
Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua variabel, dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang lain dan sebaliknya penurunan suatu variabel akan menyebabkan penurunan variabel yang lain.
Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang tetap.
Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data
Tipe / Tingkat Data Teknik Korelasi yang Digunakan
Nominal Koefisien Kontingensi
Ordinal Spearman Rank
Kendal Tau
Interval dan rasio Pearson / Produk Momen
Korelasi Ganda
Korelasi Parsial.
Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:


Atau:


Atau: r=bSxxSyy=SxySxxSyy dimana:
r = Koefisien Korelasi Sampel
n = Ukuran Sampel
x = Nilai dari Variabel Independen
y = Nilai Variabel dependen
Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap unit x.
Dalam kasus dimanai r1 = 0,3 dan r2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat korelasi positif dimana r2 lebih kuat daripada r1. Adalah salah jika menyimpulkan bahwa r2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik dibandingkan dengan r1.
6.2.2.Koefisien Determinansi
Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi disimbolkan dalam R2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam nilai variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar : 0≤R2≤1 R2 juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika R2 suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik, tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang terbaik.
Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan penafsirannya jika 0.994 sehingga R2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X. Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koefisien regresi.
6.2.3. Korelasi Ganda
Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel yang lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas kerja.
Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas, dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

ry,x1,…,xn=a1x1y+a2x2y+…+akxkyy2 dengan
x1y=X1Y-X1Ynxky=XkY-XkYny2=Y2-Y2n6.2.4. Korelasi Parsial
Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.
Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau korelasi antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :
ry,x1,x2=ryx1-(ryx2×rx1x2)1-rx1x22(1-ryx22) Dimana :
ry,x1,x2= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y
ryx1 = korelasi product moment antara x1 dengan y
ryx2 = korelasi product moment antara x2 dengan y
rx1x2 = korelasi product moment antara x1 dengan x2
6.3. Uji Hipotesis Korelasi
Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara dua variabel tertentu.
Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:
H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
Atau H0: ρ = 0
H1: ρ ≠ 0
Statistik uji:
Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
thitung=rn- 2 1-r2 atau

ttabel=t(α2;df) dimana df=n-2Kriteria uji
Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel
Kesimpulan
Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan koefisien korelasi taksiran (ρ0), dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:
H0:ρ=ρ0 dimana ρ0≠0 H1:ρ≠ρ0
Statistik uji:
zhitung=n-32ln1+r1-r1-ρ01+ρ0 ztabel=zα (uji satu sisi) atau ztabel=zα2 (uji dua sisi)
Kriteria uji:
Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel
Kesimpulan
6.4.Analisis Regresi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.
Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu :
Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan sebab-akibat)
Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi
6.4.1. Sejarah Regresi
Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain, anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua peramalan.
6.4.2. Definisi Regresi
Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel atau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.
Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara aplikatif lebih bersifat eksploratif.
6.4.3. Asumsi
Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
Error (ε) independen secara statistik
Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal
Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan
Ada hubungan linier antara kedua variabel
Catatan (*):
Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.
Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.
Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value) dengan pengamatan sebenarnya.
Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.
6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana dari populasi adalah:
Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai berikut:
Keterangan :
yi = nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat (dependen variable)
a = konstanta yang merupan nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
b = koefisien regresi/gradient garis regresi (slope)
x = variabel bebas (independent variable)
Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)
Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:
SSE=L=i=1nei2=i=1(yi-y)2=i=1n(Y-a-bxi)2Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model regresi dari nilai yang sebenaranya.

Gambar STYLEREF 1 \s VI.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε
Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:
∂L∂a=-2i=1n(Yi-a-b(xi-x))=0 \sDari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:
atau b=SxySxx atau

atau
Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan nilai a: a = i=1nyin- bi=1nxinatau:
a = y – bxDimana:
y = rata – rata yi
x = rata – rata xi
Partisi dari Varians Total
Estimasi parameter σ2 menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan model dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi varians dapat dijabarkan sebagai berikut:
SST = SSR + SSE
Keterangan:
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total = SyySSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = bSxySSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror = Syy- bSxy
Dimana : Sxx= xi2-nx2 Syy=yi2-ny2 Sxy=xiyi-nxy6.4.5.3. Estimasi dari σ2Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan penyimpangan dari nilai–nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE (Se) atau yang biasa disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari σ2 dan diestimasi dengan persamaan berikut:
Se = S = y - y2 n-2 =SSEn-2 =Syy-bSxyn-2Standar Error Koefisien Regresi
Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing–masing sampel tersebut memiliki gradien/slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi tersebut dengan persamaan berikut:


Standar Error untuk y bila nilai x diketahui
Jika nilai x dimasukkan berulang–ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata–rata yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai y bervariasi. Sehingga nilai standar error y dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):
Sy = Se 1n+ x0-x2 Sxx 6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi
Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Statistik Uji:
t= b- β0sSxx =b-β0Sb
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.7. Uji Intersep Model Regresi
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : α = 0
H1 : α ≠ 0
Statistik Uji:
t= a- αsxinSxx
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.8. Selang Kepercayaan
Selang Kepercayaan untuk α:

Selang Kepercayaan untuk β:

6.4.9.Prediksi
Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat xp


Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat xp

6.5. Pemilihan Model Regresi
Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya. Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias dalam estimasinya.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Tabel STYLEREF 1 \s VI. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 1 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error SSE n – 2 S2 = SSE/n-2 Total SST n – 1
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)
Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel dependen menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi error.
Analisis Residual
Analisis residual dapat dilakukan dengan:
Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik, yaitudengan melakukan plot ei dengan y, apabila terdapat pola-pola tertentu berarti varians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.

Pengujian Non normal error,yaitu dengan:
Stem and leaf
Histogram
Dot diagram
Plot normal (Normal Probability Plot)
Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak berdistribusi normal.
Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot ei dengan time order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.
Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas pengujian ±3σ (plot ei dengan y).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau nilainya lebih besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.
Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang
Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan Lack Of Fit.
6.7.1. Pengujian Lack Of Fit
Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang muncul antar nilai y untuk setiap nilai x (pure experimental error) dan komponen yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.
Prosedur Pengujian:
Hipotesis
H0 : Tidak ada LoF
H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Hitung Pure Error sum of square (SSpe)
SSpe=i=1ki=1n(yij-yi.)2 dengan df = n – k
Tabel STYLEREF 1 \s VI.2 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error: SSE n – 2 S2 = SSE(/n-2) Lof
Pure error SSE - SSpek - 2 (SSE – SSpe)/(k-2)SSE - SSpeS2(k-2)SSpen - k S2= SSpe /(n-k) Total SST n Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Contoh 1
nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir semester (y) sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67
yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68
Tentukan persamaan garis regresi linear.
Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian tengah semester.
Jawab :
persamaan regresi linear
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707
yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658
xiyi 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258
xi2 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557
Sehingga b = 953.258-707(658)957.557-(707)2 = 0,777142
dan
a = 658-0,777142(707)9 = 12,06232
jadi, persamaan regresi linear adalah
y = 12,06232 + 0,777142x
x = 85
y = 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936
Contoh 2
Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :
x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7
y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17
Jawab :
Σx = 31,9Σy = 230Σ xiyi = 675,5
Σ xi2 = 94,49Σ yi2 = 4866
x = 2,9y = 20,9091
b = 0,777142
a = 12,06232
Sxx = Σ xi2 – n(x)2 = 1,98
Sxy = Σ xiyi – n(xy)= 8,4997
Syy = Σ yi2 – n(y)2 = 56,9049
SSR = b2 Sxx = 36,4894
SSE = Syy – SSR = 20,4155
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
α = 0.05
Tabel Anaysis of Variance
KomponenRegresi SS df MS Fhitung
Regresi 36,49 1 36,49 16,08276
Error 20,42 9 2,27 Total 56,9049 10 Pengambilan Keputusan
F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12
Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak
Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai
Contoh 3
Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan ABC.
Tahun Jumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)
2005 22 30
2006 36 38
2007 31 35
2008 32 37
2009 31 34
2010 32 38
Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!
Jawab:
Tahun Jumlah Biaya Promosi (x) Jumlah Penjualan (y) Range x Range y di=Rx-R(y)di2 
2005 22 30 1 1 0 0
2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25
2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25
2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25
2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25
2010 32 38 4.5 5.5 -1 1
∑ 2
rs=1-6(2)6(62-1)=1-12210=1-0,057=0,943Uji Hipotesis:
H0: Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan
H1: Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan.
Statistika uji:
thitung=rn-21-r2=0,9436-21-0,9432=1,8860,11075=17,03ttabel=t0,012;4=4,604Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0
Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan
LATIHAN SOAL:
1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian prestasi pengetahuan umum (Y).
Xi Yi Xi Yi Yi Yi
114
110
113
137
116
132
90
121
107
120
125
92 29
41
48
73
55
80
40
75
43
64
53
31 130
142
137
140
125
134
106
121
111
126
95
105 71
68
69
66
39
78
49
59
66
67
46
47 96
89
105
125
107
97
134
106
99
98
117
100 45
32
50
57
59
48
55
45
47
59
47
49
a. Gambar diagram pencarnya.
b.Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.
c.Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.
d.Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?
e.Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120. Jelaskan artinya!
f. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan artinya!
g.Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ berubah dengan satu unit.
h.Perlukah diambil model berbentuk lain?
i.Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan diatas?
2. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 28
60 44 39 42
75 48 51 44
Carilah persamaan garis regresi
Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1. dengan pendekatan anava
4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang diperoleh
(dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.
Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194
Keuntungan (y) 10 15 13 17 19 14 13 11 13 15
a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan ujiah!
b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!
5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta apakah
ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi
pearson!
n Kondisi temperatur (x) KepuasanKerja (y)
1 8 20
2 12 20
3 10 17
4 7 18
5 8 19
6 7 20
7 12 18
8 10 19
9 12 16
10 9 17
11 10 16
12 12 17
13 12 18
14 12 12
15 12 17
6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel
dua (X dan Y).
X Y X Y X Y
15
13
10
11
16
12
9
12
4
8 108
106
99
110
135
97
74
98
20.
69 8
11
17
20
12
18
16
13
18
11 56
75
137
163
84
149
140
137
170
109 17
6
8
5
3
6
14
5
15
16 153
73
95
26
24
50
96
35
132
141

Regresi Linier BergandaAnalisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel bebas (x) yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi linier berganda:
y = a + b1x1+ b2x2+ ……+bnxnKeterangan:
y = nilai dari variabel terikat
a = konstata nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
bi = koefisien regresi gradient garis regresi (slope)
xn = variabel bebas
Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)
Untuk setiap pengamatan x1i, x2i ; yi;i=1, 2, …, n) akan memenuhi persamaan:
y = a + b1x1+ b2x2+ ……+bnxn+ eiDengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan:
ei = y - a - b1x1- b2x2- ……-bnxnDengan syarat meminimasikan nilai a, b1, dan b2 penurunannya, maka diperoleh persamaan:
yi = an + b1i=1nxi1 + b1i=1nxi2i=1nx1iyi = ai=1nx1i + b1i=1nxi12 + b2i=1nxi1xi2i=1nx2iyi = ai=1nx2i + b2i=1nxi22 + b1i=1nxi1x2iAsumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:
Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata–rata 0 dan dan varians σ2
Bersifat homoskedastisitas
Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi
Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna diantara variabel–variabel bebas.
Latihan soal
Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 28
60 44 39 42
75 48 51 44
Carilah persamaan garis regresi
Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
Lakukan uji model regresi pada soal no.1.

ANOVA (ANALISA VARIANS)
PENDAHULUAN


Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one way ANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor.
Mahasiswa mampu:
Mengetahui konsep desain eksperimen
Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova)
Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari beberapa populasi
Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova
Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi didunia nyata.
SKENARIO PEMBELAJARAN
1………….
2………….
3………….
4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
Perkuliahan
Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
Tes pendahuluan
Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab
Tes akhir
Evaluasi pencapaian
Penutup
RINGKASAN MATERI


Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu percobaan dengan membandingkan rata-rata dari lebih dua sampel.
Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang diuji lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif karena memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan dilakukan secara berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan dilakukan pengujian terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan uji t sebanyak sepuluh kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam perhitungan, pembandingan ataupun pengulangan menjadi semakin besar.
Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika parametrik.. `Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan.
Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor (tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).
7.1.2. Asumsi
Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
Data berdistribusi normal
Skala pengukuran minimal interval
Varians homogen
Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansi dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsibebas (independen) menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada setiap kelompok bersifat saling bebas.
7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)
Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak lengkap adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh perlakuan dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang menggunakan satu faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level. Disebut juga Desain Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel yang sama. Dalam analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n diambil masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda.
Model perbandingan k teratment (perlakuan):
yij=μ+∝j+eijDimana:
µ = Mean
∝j= efek perlakuan ke-j
eij͠͠ IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : µ1=µ2=…=µk,
H1 : paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel((k-1) , k(n-1)) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu:
Dengan cara Matriks
Dengan Cara rumus
Tabel STYLEREF 1 \s VIII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 1 k sampel acak
Perlakuan 1 2 … j … K y11y12… y1j… y1ky21y22… y2j… y2k… … … yn1yn2… ynj… ynkJumlah T.1… T.j… T.kT..
Rataan y.1y.2… y.j… y.ky..
Keterangan:
yij : menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j.
T.j : menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i.
y.j : menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.
T.. : jumlah semua nk pengamatan.
y.. : rataan semua nk pengamatan
Dengan cara matriks:

Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Residual
yij = y.. + (y.j-y..) + (yij-y.j)(yij-y..) = (y.j-y.. + (yij-y.j)(yij-y..)² = (y.j-y..)² + (yij-y.j)² + 2(y.j-y..) (yij-y.j)
= 0
j=1ki=1n(yij-y..)2=j=1k n(y.j-y..)² + j=1ki=1n(yij-y.j)²
SST SSA SSE
Keterangan:
SST = Sum Square Total
SSA = Sum Square of Treatment
SSE = Sum Square of Error
Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah:
SST = i=1kj=1nyij2-T..2nkSSA = i=1kT.j2n- T..2nk SSE = SST – SSA
Tabel STYLEREF 1 \s VII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 2 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah
Sumber
variansi SS Df MS F hitung
Perlakuan
SSA k-1 MSA=SSAk-1MSAMSEError
SSE k(n-1) MSE=SSEk(n-1)Total SST nk-1 Contoh 1:
Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4 macam operator:
Mesin
1 2 3 4 Total
12 22 19 11 10 13 14 13 14 16 20 16 13 15 19 12 11 14 18 18 Total 60 80 90 70 300
Rataan 12 16 18 14 15
Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda!
Jawab:
H0 : µ1= µ2=…= µ4,
H1 : paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.
Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=16 Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Residual
yij = y.. + (y.j-y) + (yij-y.j)12 22 19 11 10 13 14 13 14 16 20 16 13 15 19 12 11 14 18 18 =15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 1515 15 15 1515 15 15 15+-3 1 3 -1-3 1 3 -1-3 1 3 -1-3 1 3 -1-3 1 3 -1+061 -3-2-3-4 -1 2 0 2 2 1-1 1 -2-1-20 4 (dikuadratkan)=100 (dikuadratkan)=116
SSA SSE
SST = SSA +SSE = 216
Dengan cara rumus:
SST= 122+222+…+182-300220=216SSA= 602+802+802+7025-300220=100
SSE= 216-100=116

Tabel Anova
Sumber variansi SS df MS Fhitung
Perlakuan 100 3 33,3333 4,5977
Error 116 16 7,25 Total 216 19 Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil
yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu cara tersebut.
Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24
Keputusan: tolak H0 dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan yang sama (Mesin memang berpengaruh)
Latihan soal:
Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk keempat konsentrasi.
Konsentrasi NaCl
A B C D
11,01 11,38 11,02 6,04
12,09 10,67 10,67 8,65
10,55 12,33 11,50 7,76
11,26 10,08 10,31 10,13
Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup. Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan. Sampel acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah rataan daya rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang dalam kg per cm2 x 10-1.
Mesin
1 2 3 4 5 6
17,5 16,4 20,3 14,6 17,5 18,3
16,9 19,2 15,7 16,7 19,2 16,2
15,8 17,7 17,8 20,8 16,5 17,5
18,6 15,4 18,9 18,9 205 20,1
Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan daya rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!
Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.
Cara I Cara II Cara III
89
93
75
69
83
99
67
90
79
75
86
94
64
69
78
92
81
70
Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar masing-masing.
Ujilah dengan ANOVA apakah ada perbedaan efek dari ketiga cara mengajar? Gunakan alpha 0.05.
Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.
Cara I Cara II Cara III
89
93
75
69
83
99
69
57
85 67
90
79
75
86
94
64
69
78
92
81
70
84
Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu menggunakan data yang diberikan.
TWO WAY ANOVA
Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok. Uji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata. Uji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan.
Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):
yij=μ+∝i+βj+eijDimana:
µ = Mean
∝i= efek perlakuan ke-i
βj= efek blok ke-j
eij͠͠ IIDN(0,σ)
Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah:
Pengujian hipotesis untuk treatment:
H0 : Tidak ada pengaruh treatment/perlakuan H1 : Ada pengaruh treatment
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung = MSAMSE> Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level
of significance) α
Kesimpulan
Pengujian hipotesis untuk blok:
H0 : Tidak ada pengaruh blok H1 : Ada pengaruh blok
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung = MSBMSE> Ftabel(k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana ada dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu:
Dengan cara Matriks
Dengan Cara rumus
Tabel STYLEREF 1 \s VII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 4 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA)
Block (B) Treatment (A) Jml Mean
1 2 … a 1 y11 y12 … y1a T1. y1.2 y21 y22 … Y2a T2. y2.: : : :
b Yb1 Yb2 … yba Tb.. yb.Jml T.1 T.2 … T.a T.. Mean y.1y.2y.ay..Dengan cara matriks:
Observasi = Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
yij = y.. + (y.j-y..) + (yi.-y..) + (yij- y.j)(yij-y..) = (y.j -y..) + (yi.-y..)+ (yij-yi.- y.j +y..)i=1aj=1b(yij-y..)2=bi=1k (yi.-y..)² + aj=1b (y.j -y..)²+i=1aj=1b(yij+- yi. +y.j +y.. )² SST=i=1aj=1b(yij-y..)2SSA = bi=1a (yi.-y..)²SSB = aj=1b (y.j-y..)²SSE = i=1aj=1b(yij+- yi. +y.j +y.. )²Dengan cara rumus:
SST= i=1aj=1byij2 T..2abSSA= i=1aTi..2b- T..2abSSB= j=1bT.j2a- T..2abSSE=SST-SSA-SSB
Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel STYLEREF 1 \s VIII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 3 Two Way Anova

Sumber Variasi SS df MS f hitung
A (Treatment) SSA a-1 MSA= SSAa-1fA= MSAMSE B (Block) SSB b-1 MSB= SSBb-1fB= MSBMSE Error SSE (a-1) (b-1) MSE= SSEa-1b-1 Total SST (ab-1) Contoh 2:
Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga
sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan
statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :
Sistem Rudal Jenis bahan bakar
1 2 3 4
1 12 20 13 11
2 2 14 7 5
3 8 17 13 10
4 1 12 8 3
5 7 17 14 6
Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar?
Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal?
Jawab :
Sistem Rudal Jenis bahan bakar Jml Mean
1 2 3 4 1 12 20 13 11 56 14
2 2 14 7 5 28 7
3 8 17 13 10 48 12
4 1 12 8 3 24 6
5 7 17 14 6 44 11
Jumlah 30 80 55 35 200 Mean 6 16 11 7 10
Hipotesis
H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar)
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)
H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal)
H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
yij = y.. + (y.j-y) + (yij-y.j)12 20 13 11 2 14 7 5 8 17 13 10 1 12 8 3 7 17 14 6 =10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1010 10 10 1010 10 10 10+-4 6 1 -3-4 6 1 -3-4 6 1 -3-4 6 1 -3-4 6 1 -3+ 4 4 4 4-3 -3 -3 -32 2 2 2-4 -4 -4 -41 1 1 1 (dikuadratkan)=310 (dikuadratkan)=184
SSA SSB
+ 061 -3-2-3-4 -1 2 0 2 2 1-1 1 -2-1-20 4 (dikuadratkan)= SSE= 24

SST = SSA +SSB+SSE = 518
Dengan cara rumus:
SST= i=1aj=1byij2 T..2ab = 2518 - 200220 = 518
SSA= i=1aTi..2b- T..2ab = 3025+8025+5525+3525 - 200220 = 2310 – 2000 = 310
SSB= j=1bT.j2a- T..2ab = 5624+2824+4824+2424+4424 - 200220 =2184 – 2000 = 184
SSE=SST-SSA-SSB= 518 – 310 -184 = 24
Tabel analisis variansi
Sumber Variasi SS df MS F Hitung
Jenis bahan bakar 310 3 103,3 51,7
Sistem rudal 184 4 46 23
Error 24 12 2 Jumlah 518 19 Keputusan-1:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)
51,1 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan-1:
Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar
Keputusan-2:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12)
23 > 3,26 Tolak H0
Kesimpulan-2:
Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda
Latihan soal
Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu (0C) Tungku
T1 T2 T3 T4
500 227 214 223 240
550 187 181 232 246
600 202 194 213 219


Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah :
Ada pengaruh suhu?
Ada pengaruh tungku?
Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian 'An Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve" telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial mayor,Posterior deltoid,Deltoid tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut :
Orang Otot
1 2 3 4 5
1 59
1.5
61
10
20
2 60
9
78
61
61
3 47 42 23 55 95
Dengan α= 0,01 ujilah apakah:
Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama)?
Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf)?
Two Way Anova dengan n replikasi
Tabel STYLEREF 1 \s VII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 3 Two Way Anova dengan n replikasi
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat f hitungan
Pengaruh Utama A JKA a-1 S12= JKAa-1f1= S12S2B JKB b-1 S22= JKBb-1f2= S22S2Interaksi dwifaktor AB JK(AB) (a-1) (b-1) S32= JK(AB)a-1b-1f3= S32S2Galat JKG ab(n-1) S2= JKGabn-1JKT abn-1 Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel STYLEREF 1 \s VII. SEQ Tabel \* ARABIC \s 1 4 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA
A B Jumlah
1 2 … b 1 T11. T12. … T1b. T1…
2 T21. T22. … T2b. T2…
: : A Ta1. Ta2. … Tab. Ta…
Jumlah T.1. T.2. … T.b. T…
Keterangan:
JKT= i=1aj=1bk=1nyijk2- T2abnJKA= i=1aTi..2bn- T.2abnJKB= j=1bTj.2an- T.2abnJKAB= i=1aj=1bTij2n- i=1aTi..2bn- j=1bT.j.2an+ T…2abn JKG=JKT-JKA-JKB-JK(AB)Contoh 2:
Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan statis. Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi pengamatan laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah datanya :
Sistem Rudal Jenis Bahan Bakar
b1 b2 b3 b4
a1 34,0 30,1 29,8 29,0
32,7 32,8 26,7 28,9
a2 32,0 30,2 28,7 27,6
33,2 29,8 28,1 27,8
a3 28,4 27,3 29,7 28,8
29,3 28,9 27,3 29,1

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem rudal yang berlainan.
H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar
H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan.
Jawab :
Hipotesis
H0 = α1 = α1 = α3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol
H0 = β1 = β1 = β3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol
H0 = (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu (αβ)ij tidak sama dengan nol
Taraf keberartian = 5%
Daerah kritis (penentuan f tabel)
f1 = f9.05 (a-1,ab(n-1)) = f9.05 (2,12) = 3,89
f2 = f9.05 (b-1,ab(n-1)) = f9.05 (3,12) = 3,49
f3 = f9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f9.05 (6,12) = 3,00
Tabel jumlah
b1 b2 b3 b4 Jumlah
a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0
a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4
a3 57,7 56,2 57,0 57,9 228,8
Jumlah 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2
Tabel analisis variansi
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat f Hitungan
Sistem rudal 14,52 2 7,26 5,85
Jenis bahan bakar 40,08 3 13,36 10,77
Interaksi 22,17 6 3,70 2,98
Galat 14,91 12 1,24 Jumlah 91,68 23 Statistik Uji
Tolak H0 jika f hitung > f tabel
Kesimpulan
5,85 > 3,89 Tolak H0
Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda.
10,77 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar.
2,98 < 3,00 Terima H0
Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan.
Latihan soal
Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu (0C) Tungku
T1 T2 T3 T4
500 227 214 225 260
221 159 236 229
550 187 181 232 246
208 179 198 273
600 174 198 178 206
202 194 213 219

Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa :
Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi
Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian 'An Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve" telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah :
Anterior deltoid,
Pectorial mayor,
Posterior deltoid,
Deltoid tengah,
Trisep
Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut :
Orang Otot
1 2 3 4 5
1 32 5 58 10 19
59 1.5 61 10 20
38 2 66 14 23
2 63 10 64 45 43
60 9 78 61 61
50 7 78 71 42
3 43 41 26 63 61
54 43 29 46 85
47 42 23 55 95
Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa:
Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama
Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf
Orang dan jenis otot tidak berinteraksi

BAB VIII
STATISTIKA NON-PARAMETRIK
8.0 Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu :
Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik
Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik
Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji nonparametrik
Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik
Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman
8.1 Statistika Nonparametrik
Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada asumsi-asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya : mengasumsikan bahwa sampel harus diambil dari populasi-populasi yang berdistribusi normal dan mempunyai varians yang sama.
Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum. Ringkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang "cepat dan mudah" ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi, karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka beruntunglah telah disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang bermanfaat.
Kelebihan prosedur nonparametrik:
Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji parametrik padanannya)
Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah
Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang
Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak harus merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)
Kelemahan prosedur nonparamtrik:
Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)
Tidak seteliti pengujian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar
8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)
Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti "cacat" atau "tidakt", atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut.
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui
Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : μ= μ0
H1 : μ≠ μ0Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
Satu arah : P(X≤x H0benar) ≤ αDua arah : 2 P(X≤x H0benar) ≤ αDimana x : banyaknya tanda plus
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel dengan median hipotesis
Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
Hitung P(X≤x n;0,5) dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α untuk n ≤ 10
Jika n >10 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:
. Z= x±0,5-0,5n0,5 nPengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
Contoh-1
Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:
1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7.
Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H0 : μ= 1,8
H1 : μ≠ 1,8Dengan Level of Significance (α)=0,05
Dimana x : banyaknya tanda plus
Perhitungan Statistik Uji:
Data 1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
Tanda - + - - + - 0 - + - -
*Median = 1,8
X=3; n= 10; p=0,5
P=2P(X <=3 , p=0,5)
P=2 ∑b(x;10;0,5) = 2(0,1719)= 0,3438 > 0,05
Keputusan:
Terima H0
Kesimpulan:
Median waktu operasi berbeda dari 1,8 jam adalah tidak signifikan.
Uji tanda juga bisa digunakan untuk menguji hipotesis nol (median 1 – median 2 = do) untuk observasi berpasangan. Dimana di= selisih mediannya.
Contoh:
Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat sebagai berikut:
Mobil Ban radial Ban biasa
1 4.2 4.1
2 4.7 4.9
3 4.6 6.2
4 7.0 6.9
5 6.7 6.8
6 4.5 4.4
7 5.7 5.7
8 6.0 5.8
9 7.4 6.9
10 4.9 4.9
11 6.1 6.0
12 5.2 4.9
Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa? Gunakan hampiran normal terhadap sebaran binom.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H0 : μR- μB = 0
H1 : μR- μB<0
perhitungan:
Ban Radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2 Ban Biasa 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8 4.4 5.7 5.8 6.9 4.9 6.0 4.9 Tanda + - + + - + 0 + + 0 + + Perhitungan: Didapat jumlah = 8 tanda plus, 2 tanda minus dan 2 tanda nol.
Setelah tanda nol dibuang, n = 10 dan x = 8.
Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:
Z= x±0,5-0,5n0,5 nZHitung= 8-0,5-0,5*10 0,510 = 1,581
Maka: P=P(X>=11)=P(Z<1,581)
Daerah Kritis: z > 1.645
Keputusan: Karena ZHitung<ZTabel , maka terima Ho
Kesimpulan :Rata-rata ban radial tidak meningkatkan penghematan bahan bakar.
8.3. Uji wilcoxon bagi pengamatan Berpasangan (uji peringkat bertanda wilcoxon)
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama
Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu
Ke-n pasangan hasil pengukuran independen

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : μ1- μ2=di = 0
H1 : μ1- μ2≠ 0
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
Satu arah : P(X≤x H0benar) ≤ αDua arah : 2 P(X≤x H0benar) ≤ αDimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil
Perhitungan Statistik Uji:
Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing nilai dari dua sampel berpasangan.
Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2P(X≤x n*0,5) dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α
Jika n >20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:
. Z= x±0,5-0,5n0,5 nPengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
Contoh-3
Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit):
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402
Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437
*X=Ketika tikus sendiri
Y= Ketika tikus berkumpul
Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikus?
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H0 : μy- μx=00
H1 : μy- μx>0
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402
Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437
di-60 -32 +1 -79 -26 -28 -30 +7 -61 -35
Tanda - - + - - - - + - -

Dua arah : 2 P(X≤2 10;0,5)=0,0547 P(X≤2 10*0,5)=0,02735 ≤ α=0,05
Keputusan:
Tolak H0
Kesimpulan:
Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.
8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan
Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel-berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. Sebuah uji yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda wilcoxon, atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan berpasangan.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah:
Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak
Data minimal mempunyai skala pengukuran interval
Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu
Selisih-selisih tsb independen
Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik
Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : μ1- μ2=d0
H1 : μ1- μ2≠ d0
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
Semua nilai W yang memenuhi P(W≤w H0benar)< α , jika n < 5 dan ujinya satu arah
Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W≤w H0benar)< α , jika n < 5 dan ujinya dua arah
Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel a.16 (buku Walpole), jika 5 ≤ n ≤ 30
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan tandanya : di = Yi - Xi
Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n akan berkurang
Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan tandanya
Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil
Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)
Jika n > 15, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:
μw= n(n+1) 4 dan σ2w=nn+1(2n+1)24 Dan Statitik Ujinya adalah:
Z= w-μw σwPengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan:
Contoh-5
Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti-peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase
Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)
Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 18
24 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9
Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 %
Jawab:
H0 : μyi- μxi=di ≥0
H1 : μyi- μxi≠ di<0

Terapi Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)
Pasien
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 18
24 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9
di = Yi – Xi-12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 -9
Peringkat/ranking 7 4 7 1 2 7 3 5
buang
Keputusan:
Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H0
Kesimpulan:
Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru
8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Rank Sum Test)
Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode nonparametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah:
Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn
Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu
Kedua sampel independen

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : μ1= μ2
H1 : μ1≠ μ2
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
Semua nilai U yang memenuhi P(U≤u H0benar)< α , jika n2 ≤ 8 dan ujinya satu arah
Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U≤u H0benar)< α , jika n2 ≤ 8 dan ujinya dua arah
Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 17 (buku Walpole), jika 9 ≤ n2 ≤ 20
Perhitungan Statistik Uji:
Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2
Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar dan beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat pengamatan yang besarnya sama, maka pengamatan tsb diganti dengan rata-rata ranking
Hitung W1= Jumlah ranking pada n1
W2= Jumlah ranking pada n2
W1+W2=n1+n2(n1+n2+1)2 U1 = W1 - n1(n1+1)2 U2 = W2 - n2(n2+1)2Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan distribusi normal dengan:
. μU1= n1 n22 dan σ2U1=n1n2(n1+n2+1)12Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah kritis
Kesimpulan:
Contoh-4
Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja :
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65
Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda?
Jawab: H0 : μx= μy
H1 : μx≠ μy
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65
Ranking 20 8 14,5 5,5 16 1,5 18 13 3 19
Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
Ranking 11,5 4 5,5 9 1,5 10 11,5 7 14,5 17
W1 = 1,5+3+5,5+8+13+14,5+16+18+19+20=118,5
W2=n1+n2(n1+n2+1)2 – W1 = 20(21)2- 118,5=91,5
U1 = W1 - n1(n1+1)2 = 118,5 – 10(11)2=63,5 U2 = W2 - n2(n2+1)2 = 91,5 – 10(11)2=36,5 Keputusan:
U2 < U1 Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23
Karena U hitung > U tabel terima H0
Kesimpulan:
Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y
8.7. Uji Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah:
Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk
Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel
Variabel yang diukur kontinyu
Skala pengukuran minimal ordinal
Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang-kurangnya satu populasi
Struktur data dalam uji Kruskal Wallis:
Sampel
1 2 … … k
y11y12… … y1ky21y22… … y2k… … …
yn1yn2… … ynkProsedur untuk memperoleh Statistik Uji:
Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk
Urutkan dari kecil ke besar dan beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rank/peringkatnya
Jumlah peringkat/rank semua pengamatan ni dan nyatakan dengan Ri
Hitung :
H=12n(n+1) i=1kRi2ni- 3(n+1)Jika H jatuh dalam daerah kritis H > χα2 dengan v=k-1 tolak H0, dan jika sebaliknya terima H0
Contoh- 8
Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.
Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan Bakar
Sistem Peluru Kendali
1 2 3
24.0
16.7
22.8
19.8
18.9 23.2
19.8
18.1
17.6
20.2
17.8 18.4
19.1
17.3
17.3
19.7
18.9
18.8
19.3
Jawab
H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama)
H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama
Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar
Sistem Peluru kendali
1 2 3
19
1
17
14.5
9.5
R1 = 61.0 18
14.5
6
4
16
5
R2 = 63.5 17
11
2.5
2.5
13
9.5
8
12
R3 = 65.5
Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r1 = 63.0, r2 = 63.5, dan r3 = 65.6, maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :
H=12n(n+1) i=1kRi2ni- 3(n+1)H=1219(19+1) 6125+63.526+65.528-3(19+1)
H = 1.6586
Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H0. Jadi ketiga sistem peluru kendali mempunyai median yang sama.
8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal (One Sample Run Test)
Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak.
Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n = n1 + n2.
Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H0 : Sampel berasal dari proses acak
H1 : Sampel tidak berasal dari proses acak
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
Semua nilai V yang memenuhi P(V≤v H0benar)< α , jika n1 dan n2 ≤ 10 dan ujinya satu arah
Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V≤v H0benar)< α , jika jika n1 dan n2 ≤ 10 dan ujinya dua arah
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung runtun dari barisan sampel
Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan kasus
Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:
μv=1+2n1n2n1+n2 dan σ2v=2n1n2(2n1n2-n1-n2)(n1+n2)2(n1+n2-1) Dan Statitik Ujinya adalah:
Z= V-μv σvPengambilan Keputusan:
Jika P (Z ) < α maka tolak H0, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan
Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P,
L L P P P L L P P L L L
Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga dua L dan demikian seterusnya.
Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20 runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb.
Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5 dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:
P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah
2 P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 > α
Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H0)
Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.
Contoh-6
Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1.
Jawab.:
H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi
H1: Data tidak diambil secara acak
Langkah untuk mendapatkan statistik uji :
Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutan terjadinya
Tentukan besarnya median sampel
Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya beri tanda negatif
Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif
Hitung banyaknya runtun (V)
Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel
Jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α
Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda "-" bila lebih kecil dari 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan :
+ - - - - + + + + - + +
dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.
Keputusan: P(V ≤ α bila H0 benar) =0.296 > α Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6)
Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang bervariasi secara acak.
Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:
Tentukan hipotesis :
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
Langkah :
Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2
Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya
Nyatakan data dari sampel ke-1 dengan A dan data dari sampel ke-2 dengan B
Hitung banyaknya runtun (v)
Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel
Daerah kritis (Daerah penolakan):
Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji satu arah
Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji dua arah
Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :
μV= 2n1n2n1+n2+1 dan σ2V=2n1n2(2n1n2-n1-n2)n1+n22(n1+n2-1)Z= V-μV σVContoh-7
Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan April 2010:
Bandung Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Penyimpangan 7 6 5 -2 -1 3 2 -6 -5 8 -4
Tanda + + + - - + + - - + -
Jakarta Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Penyimpangan 5 8 -3 -7 -9 8 -1 -2 -3 2 3
Tanda + + - - - + - - - + +
Jawab:
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan:
μV= 211(11)11+11+1 = 12
σ2V=211(11)(2(11)(11)-11-11)11+112(11+11-1) = 5.238 σV =2.2887
Z= V-μV σV = ( 11 -12)2,2887 = -0.4369 ≈ -0.44
P(Z< -0.44) = 0.33 > α Terima H0
Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak
Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman
Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutan-urutan nilai tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini masuk dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan variabel yang lain harus linier.
Koefisien korelasi Sperman rank (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
rs=1-6i=1n(di)2n(n2-1)Dengan:
di=disparitas/selisih tiap pasang rankn =banyaknya pasangan dataDalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama.
Nilai rs biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik dan ditafsirkan secara sama pula. Nilai rs dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau -1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa pemberian peringkat itu bertolak belakang. Bila rs dekat dengan nol, dapat disimpulkan bahwa kedua peubah tidak berkorelasi.
Ada beberapa keuntungan penggunaan rs dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan Y harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear, maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa. Keuntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y adalah normal.
Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran bagi nilai-nilai rs dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01, dan 0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai tabel nilai kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai rs setangkup terhadap rs = 0, maka nilai rs yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah kanannya. Bila hipotesis alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama besar di kedua ekor sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif, daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.
Contoh 9
Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!
Sample Ke- Hasil Produksi (ton)
Departemen A (x) Departemen B (y)
1 141.8 89.7
2 140.2 74.4
3 131.8 83.5
4 132.5 77.8
5 135.7 85.8
6 141.2 86.5
7 143.2 89.4
8 140.2 89.3
9 140.8 88
10 131.7 82.2
11 130.8 84.6
12 135.6 84.4
13 143.6 86.3
14 133.2 85.9
Jawab:
Sampel ke- X Y Rank (x) Rank (y) di=Rx-R(y)di21 141.8 89.7 12 14 -2 4
2 140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.25
3 131.8 83.5 3 4 -1 1
4 132.5 77.8 4 2 2 4
5 135.7 85.8 7 7 0 0
6 141.2 86.5 11 10 1 1
7 143.2 89.4 13 13 0 0
8 140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.25
9 140.8 88 10 11 -1 1
10 131.7 82.2 2 3 -1 1
11 130.8 84.6 1 6 -5 25
12 135.6 84.4 6 5 1 1
13 143.6 86.3 14 9 5 25
14 133.2 85.9 5 8 -3 9
∑ 140.5
rs=1-6(140,5)14(142-1)=1-7002730=1-0,256=0,744Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B.
SOAL-SOAL LATIHAN
Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20, 12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih dari 20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.
Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12, 10, 11, 18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α =0.02 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot bimbingannya berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.
Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase bahan campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3, 1.2, 1.1, 3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda pada taraf nyata 0.01 untuk menguji hipotesis nol bahwa presentase bahan campurannya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa presentase bahan campuran rata-rata bukan 2.5%.
Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf eksekutifsenior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di Hawaii atau seminggu di Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai pilihannya. Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama disukai lawan alternatifnya bahwa preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara 18 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol.
Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat ini, 12 papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya mengering, dalam jam, tercatat sebagai berikut:
Papan Lamanya mengering (jam)
Cat baru Cat lama
1 6.4 6.6
2 5.8 5.8
3 7.4 7.8
4 5.5 5.7
5 6.3 6.0
6 7.8 8.4
7 8.6 8.8
8 8.2 8.4
9 7.0 7.3
10 4.9 5.8
11 5.9 5.8
12 6.5 6.5
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.
Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5 kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya :
Wanita Bobot sebelum Bobot sesudah
1 58.5 60.0
2 60.3 54.9
3 61.7 58.1
4 69.0 62.1
5 64.0 58.5
6 62.6 59.9
7 56.7 54.5
8 63.6 60.2
9 68.2 62.3
10 59.2 58.7
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa pengurangan bobot itu kurang dari 4,5 kilogram.
Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan. Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:
Hari Sulfur monoksida
Alat A Alat B
1 26.46 25.41
2 17.46 22.53
3 16.32 16.32
4 20.19 27.48
5 19.84 24.97
6 20.65 21.77
7 28.21 28.17
8 33.94 32.02
9 29.32 28.96
10 19.85 20.45
11 28.35 23.67
12 22.78 18.96
13 21.64 19.88
14 18.93 23.44
Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.
Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon
Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok tercatat sebagai berikut:
BB sebelum 58 60 62 69 70 64 76 72 66 75
BB setelah 60 55 58 65 69 64 70 67 61 70
Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata 0.05, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang, lawan alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti merokok.
Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :
Nilai
Dengan pelajaran tambahan
Tanpa pelajaran tambahan 87 69 78 91 80 85 78
75 88 64 82 93 79 67
Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai.
Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Kalkulator
A B C
4.9
6.1
4.3
4.6
5.3 5.5
5.4
6.2
5.8
5.5
5.2
4.8 6.4
6.8
5.6
6.5
6.3
6.6
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.
Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba:
Cap A Cap B Cap C Cap D
14
10
11
13 16
18
14
15 16
15
14
12 17
20
19
21
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut.
Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata.
Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama.
Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini :
T T T T Y Y T Y Y T Y T T T T
Gunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak.
Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku 0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022, 0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05
Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445.
Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut:
C C T T T C T T C C T T T T
T C C C T T C T T T T C T C
Dengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak
Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.
Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10 mahasiswa :
Mahasiswa
UTS UAS
L.S.A 84 73
W.P.B 98 63
R.W.K 91 87
J.R.L 72 66
J.K.L 86 78
D.L.P 93 78
B.L.P 80 91
D.W.M 0 0
M.N.M 92 88
R.H.S 87 77
Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnya
Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025.
Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378
Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.
Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346.
Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini:
Pabrik Peringkat Harga (dlm $)
A 6 480
B 9 395
C 2 575
D 8 550
E 5 510
F 1 545
G 7 400
H 4 465
I 3 420

Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro?
Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:
Mobil Berhias
1 2 3 4 5 6 7 8
Juri A
Juri B 5
7 8
5 4
4 3
2 6
8 2
1 7
6 1
3
Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya.
Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan nol lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.05
Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatan diperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05.
Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalah sebagai berikut :
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 3,6 3,7 3,5
Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda.
Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini.
Suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1
Istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3
Apakah nampak sifat "independen" penilaian yang dilakukan oleh suami istri?
Diberikan data berikut :
A 1,32 1,28 1,22 1,23 1,16 1,31 1,06 1,23
B 0,99 1,08 0,98 0,96 0,97 0,98 0,89 1,01
Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median.
Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan :
26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23?
REFERENSI
Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : "Statistics For Experimenters", John Wiley & Sons.1978
Draper, N.R : " Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 1981
Daniel, Wayne.W : " Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 1978
Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: "Probability and Statistical Inference", Pearson Education, 2006
Ledolter. J, Hogg, Robert V. : " Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists", Pearson Prentice Hall, 2010.
Walpole, Ronald E., et all: "Probability & Statistics for Engineers & Scientists", Prentice Hall, 2007
Spiegel, Murray R.: "Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika", Erlangga (Terjemahan), 1988


Download Buku-ajar-statistika-industri1.docx

Download Now



Terimakasih telah membaca Buku-ajar-statistika-industri1. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat


Tinggalkan Komentar
EmoticonEmoticon