Judul: Integral Lipat Tiga (Koordinat Cartesius
Penulis: Agung Bowo
Integral Lipat Tiga (Koordinat Cartesius)
Konsep yang diwujutkan dalam intgral tunggal dan lipat-dua meluas secara wajar ke integral lipat tiga, dankelipat n.
Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefenisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Kita tidak dpat lagi menggambarkan grafik f (dimensi empat yang diinginkan), tetapi kita dapat menggambar B. Bentuklah suatu partisi P dan B dengan melewatkan bidang-bidang melalui B sejajar dengan koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian B1, B2, . . . , Bn ,
k=1nf(xk,yk,zk)∆VkDengan ∆⋁k= ∆xk∆yk∆zk adalah volume Bk. Andaikan norma partisi P ini adalah panjang diagonal terpandang dari semua balok bagian bagian. Maka kita definisikan integral lipat tiga dengan
b fx,y,zdv= limp→0 k=1nf(xk,yk,zk)∆VkPertanyaan tentang fungsi apa yang dapat diintegralkan muncul di sini, sama halnya seperti pada integral tunggal dan lipat-dua. Tentu saja cukup bahwa f kontinu di B. Sebenarnya kita membolehkan beberapa ketakkontinuan, sebagai contoh, pada sejumlah berhingga permukaan mulus. Kita tidak membuktikan (suatu tugas yang sangat sukar), tetapi kita menyatakan bahwa ia benar.
Seperti yang anda harapkan, integral lipat-tiga mempunyai sifat-sifat baku kelinearan, penjumlahan pada himpunan-himpunan yang bersekutu hanya pada suatu permukaan batas, dan pembandingan. Akhirnya integral lipat-tiga dapat dituliskan sebagai integral berulang rangkap tiga seperti sekarang kita ilustrasikan.
CONTOH 1 Hitung B x2yzdV,dengan B adalah kotakB=(x,y,z) :1≤x≤2,0≤y≤1,1≤z≤2}Penyelesaian :
B x2yz dV= 02 01 12x2yz dx dy dzo2 01 13x3yzdy dz= 020173yz dy dz730212y2zdz= 730212z dz76z22=73Terdapat enam urutan perintegralan yang mungkin. Yang mana saja di antara mereka akan menghasilkan jawab 73.
DAERAH UMUM Perhatikan suatu daerah S terbatas di ruang dimensi-tiga dan dilingkungi di dalam suatu balok B. Andaikan f(x,y,z) didefenisikan pada S dan beriakn f nilai nol di luar S. Kemudian didefinisikan
S fx,y,zdV= B fx,y,zdVIntegral di ruas kanan didefinisikan pada catatan pembukaan kita, tetapi tidak berarti bahwa integral tersebut mudah untuk di hitung. Sebenarnya, jika himpunan Scukup rumit, kita mungkin tidak mampu melakukan perhitungan itu.
Andaikan S adalah himpunan z sederhana(garis-garis tegak memotong S menurut garis tunggal) dan andaikan Sxy adalah proyeksinyapada bidang xy maka
S fx,y,zdV= Sxy ψ1(x,y)ψ2(x,y)fx,y,zdzdASebagai tambahan, jika Sxy adalah himpunan y sederhana
Kitadapat mengulang tulis integral lipat-dua sebelah luar sebagai sebuah integral lipat.
S f(x,y,z) dV= a1a2ϕ1ϕ2ψ1(x)ψ2(x,y)fx,y,zdz dy dxUrutan pengintegralan lain boleh jadi memungkinkan, tergantung pada bentuk S, tetapi dalam fungsi dalam tiap kasus kita seharusnya mengharapkan limit dari integral sebelah dalam berupa fungsi dua peubah, yang berada pada integral tengah berupa fungsi satu peubah, dan yang di sebelah luar berupa konstanta.
Terimakasih telah membaca Integral Lipat Tiga (Koordinat Cartesius. Gunakan kotak pencarian untuk mencari artikel yang ingin anda cari.
Semoga bermanfaat
0 komentar: